Forme renforcée de la relation d'incertitude qui affine la borne de Robertson en incluant la covariance (corrélation symétrisée) entre observables : pour A et B, ΔA^2 ΔB^2 ≥ (1/4)|⟨[A,B]⟩|^2 + (1/4)|⟨{ΔA,ΔB}⟩|^2, donnant une borne inférieure généralement plus serrée et dépendante de l'état.

Principe

En tenant compte à la fois du commutateur (partie antisymétrique) et de l'anticommutateur/la covariance (partie symétrique) des fluctuations d'opérateurs, la relation capture comment les corrélations entre déviations influent sur le produit de variances réalisable et fournit la borne optimisée de type Robertson pour les statistiques du second moment.

Démonstration

Un état comprimé présentant une covariance position–impulsion non nulle montre que la borne de Robertson, basée uniquement sur le commutateur, peut être lâche : l'inclusion du terme de covariance dans l'inégalité de Schrödinger donne le produit minimal exact des variances pour cet état corrélé et explique les compromis saturés dans des états gaussiens corrélés.

Mauvaise application

Négliger le terme de covariance en présence de fortes corrélations et sous-estimer ainsi la vraie borne inférieure ; mal calculer l'espérance symétrisée ⟨{ΔA,ΔB}⟩ ou interpréter l'inégalité comme une déclaration sur la perturbation par mesure plutôt que sur les variances d'état.

Conséquence

Fournit la borne inférieure la plus serrée basée sur les seconds moments pour deux observables et clarifie le rôle des corrélations dans les compromis d'incertitude ; utile pour caractériser précisément les états de minimum d'incertitude corrélés et pour optimiser mesures et préparation d'états lorsque la covariance est significative.

Inversion

La relation de Robertson omet le terme de covariance et peut fournir une borne plus faible ; inversement, lorsque la covariance s'annule, les bornes de Schrödinger et Robertson coïncident et aucun resserrement n'apparaît.

Limite

S'applique lorsque les seconds moments et la covariance symétrisée sont finis et bien définis ; il s'agit d'une inégalité basée sur les moments et elle ne remplace pas des mesures d'incertitude alternatives (entropiques, majorisation) qui peuvent être plus informatives dans certains contextes.

Tension sémantique

Se situe entre les bornes de type Robertson fondées sur le commutateur et les formulations entropiques ou liées à la perturbation par mesure ; les praticiens préfèrent parfois la forme plus simple de Robertson pour l'intuition, mais la forme de Schrödinger est nécessaire lorsque les corrélations affectent matériellement les incertitudes.

Synthèse

La relation d'incertitude de Schrödinger affine les bornes opératorielles en incorporant la covariance ainsi que le commutateur, fournissant l'inégalité la plus serrée fondée sur les seconds moments pour deux observables et explicant comment les corrélations entre déviations déterminent le produit minimal de variances réalisable.