Les fonctions P_l^m(x) obtenues à partir des polynômes de Legendre P_l(x) en effectuant m dérivées et en multipliant par (1−x^2)^{m/2} : P_l^m(x) = (1−x^2)^{m/2} d^m/dx^m P_l(x) ; elles résolvent l'équation différentielle de Legendre associée pour des degrés l et ordres m entiers avec |m| ≤ l.

Principe

Elles apparaissent dans la partie angulaire de la séparation en coordonnées sphériques comme facteur dépendant de θ des harmoniques sphériques ; l'ordre m correspond au nombre quantique magnétique et impose un comportement zonal en latitude.

Démonstration

Pour l = 2 et m = 1, P_2^1(x) est proportionnel à (1−x^2)^{1/2} multiplié par la dérivée de P_2(x) ; ces fonctions évaluées en x = cosθ donnent la dépendance en θ de Y_2^1(θ,φ).

Mauvaise application

Utiliser P_l^m(x) en dehors du domaine principal x ∈ [−1,1] sans tenir compte des coupures de branche ou sans passer aux fonctions de Legendre du second type peut produire des résultats non physiques ou multivalués.

Conséquence

Les polynômes de Legendre associés fournissent des relations d'orthogonalité en θ, déterminent les nœuds angulaires et les propriétés de parité des harmoniques sphériques, et sont essentiels pour construire des fonctions angulaires propres normalisées.

Inversion

Remplacer les entiers l et m par des valeurs non entières conduit à des fonctions de Legendre associées (non polynomiales) avec des propriétés analytiques différentes et souvent des points de branchement ; les nombres quantiques angulaires discrets disparaissent.

Limite

Définis comme polynômes pour l entier ≥ 0 et m entier avec |m| ≤ l, et généralement considérés pour x ∈ [−1,1] ; l'extension à des paramètres non entiers donne des fonctions de Legendre associées hors de la classe polynomiale.

Tension sémantique

Il y a une tension entre la présentation concise en tant que polynômes (utile pour des manipulations algébriques) et leur interprétation comme cas particuliers de fonctions de Legendre associées plus générales nécessaires pour des paramètres complexes ou continus.

Synthèse

Les polynômes de Legendre associés sont les éléments de base dépendant de θ des harmoniques sphériques : obtenus par dérivation et pondération des polynômes de Legendre, ils codent la structure en ordre m, l'orthogonalité sur [−1,1] et le schéma de nœuds angulaires des états propres de rotation.