L'intégrale de chemin de Feynman est la représentation des amplitudes quantiques comme une intégrale fonctionnelle (ou somme cohérente) sur toutes les histoires classiques possibles (chemins), chacune pondérée par le facteur de phase exp(iS[chemin]/ħ), où S[chemin] est l'action classique de cette histoire ; elle reproduit les propagateurs et amplitudes de transition et relie le comportement quantique à la mécanique classique par principe de phase stationnaire.

Principe

Les amplitudes quantiques se forment par la somme cohérente des contributions de phase de chaque chemin ; l'interférence constructive autour des chemins d'action stationnaire produit la limite classique, tandis que les fluctuations autour de ces chemins engendrent des corrections quantiques décrites par les déterminants et les développements en boucles.

Démonstration

Des évaluations directes comprennent l'intégrale de chemin gaussienne du particule libre qui reproduit le propagateur connu, l'intégrale de chemin exacte de l'oscillateur harmonique donnant le noyau de Mehler, et les sommes semiclassiques d'instanton qui calculent les taux de tunneling dans des potentiels à double puits.

Mauvaise application

Traiter la mesure fonctionnelle comme une mesure de Lebesgue ordinaire sans discrétisation ni régularisation, ignorer les conditions aux limites nécessaires, ou tenter de sommer seulement les trajectoires classiques sans inclure les déterminants de fluctuation, constitue un mauvais usage de la méthode et donne des résultats incorrects.

Conséquence

Lorsqu'elle est correctement définie (par découpage temporel, continuation analytique en temps euclidien ou autres régularisations), l'intégrale de chemin sert de base à la théorie des perturbations, à la dérivation des diagrammes de Feynman, aux approximations semiclassiques non perturbatives et à la quantification des champs et des théories de jauge.

Inversion

Le point de vue inverse est la formulation canonique par opérateurs (opérateurs dans l'espace de Hilbert, commutateurs, décomposition spectrale) ; les deux sont formellement équivalentes dans de nombreux cas, bien qu'elles offrent des avantages calculatoires et conceptuels différents.

Limite

L'intégrale de chemin est une intégrale oscillatoire formelle de dimension infinie nécessitant une régularisation, une gestion attentive de la mesure, un choix de jauge pour degrés de liberté redondants et une attention à l'ordre des opérateurs ; son interprétation littérale comme somme de trajectoires classiques est heuristique et doit être soutenue par une définition rigoureuse.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'interprétation de l'intégrale de chemin comme somme littérale d'histoires physiques et son traitement comme outil mathématique défini par des procédures limites (découpage temporel, réseau) ou continuation analytique ; on retrouve aussi une tension entre les intégrales oscillatoires en temps réel et les formulations euclidiennes (temps imaginaire) utilisées pour des définitions rigoureuses et des calculs numériques.

Synthèse

L'intégrale de chemin de Feynman est une représentation des dynamiques quantiques fondée sur l'action : définie opérationnellement par discrétisation ou continuation, elle exprime les amplitudes comme des sommes pondérées en phase sur les histoires et sous-tend les règles de Feynman en perturbation, les approximations semiclassiques et la quantification des champs.