Coefficients numériques qui expriment l'expansion des états propres de moment angulaire total couplé dans la base produit de deux états propres individuels : |j1 j2; J M> = Σ_{m1,m2} ⟨j1 m1 j2 m2|J M⟩ |j1 m1⟩|j2 m2⟩. Ils codent le changement de base unitaire entre produit tensoriel et représentation couplée.

Principe

Ils réalisent la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles de su(2) en composantes irréductibles, respectent les règles de sélection M = m1 + m2 et les inégalités triangulaires |j1−j2| ≤ J ≤ j1 + j2, et satisfont des relations d'orthonormalité et de convention de phase.

Démonstration

L'association de deux spins 1/2 donne le triplet et le singulet : |1,1> = |+,+>, |1,0> = (|+,-〉+|-,+〉)/√2, |0,0> = (|+,-〉−|-,+〉)/√2. Les coefficients ±1/√2 et 1 apparaissent comme coefficients de Clebsch–Gordan.

Mauvaise application

Utiliser ces coefficients sans respecter la convention de phase choisie, les appliquer pour des nombres quantiques hors de la plage valide (violant la conservation de M ou l'inégalité triangulaire), ou les traiter comme des amplitudes arbitraires plutôt que des facteurs de changement de base sont des erreurs courantes.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit des amplitudes précises pour les états couplés, permet de calculer les éléments de matrice de transition et les règles de sélection, et sert de bloc de construction pour former des états de moment angulaire à plusieurs corps par couplage successif.

Inversion

L'opération inverse consiste à décomposer un état couplé en états produits ; de façon équivalente on peut utiliser les symboles de Wigner 3j, algébriquement liés aux coefficients de Clebsch–Gordan par des facteurs de normalisation et de phase.

Limite

Définis pour des couples de moments angulaires de valeurs entières ou demi-entières ; ils relient des bases produit à une base couplée mais ne donnent pas directement les coefficients de recouplage pour trois ou plusieurs moments angulaires (ceux-ci requièrent des symboles 6j, 9j ou des CG imbriqués).

Tension sémantique

Tension entre différentes conventions de signe et de phase dans la littérature et entre la vision de ces nombres comme purement combinatoires ou comme éléments d'une transformation unitaire ; la prudence sur les conventions est essentielle pour éviter les erreurs de signe.

Synthèse

Les coefficients de Clebsch–Gordan sont des facteurs numériques fixes qui réalisent le changement de base unitaire entre représentations produit et couplée de su(2), imposant M = m1 + m2 et l'intervalle autorisé pour J et fournissant les amplitudes pour construire des états propres de moment angulaire total.