Un symbole 3j de Wigner est une représentation compacte et symétrique des coefficients de couplage de Clebsch–Gordan, noté ( j1 j2 j3; m1 m2 m3 ) avec la contrainte m1 + m2 + m3 = 0 ; il est relié aux coefficients de Clebsch–Gordan par des facteurs de phase et de normalisation fixes et s'utilise pour ses symétries de permutation en algèbre des moments angulaires.

Principe

Les symboles 3j contiennent la même information de couplage que les CG mais présentée de façon à rendre les propriétés de symétrie par permutation et d'orthogonalité manifestes ; une valeur non nulle exige la règle de somme des nombres magnétiques et les conditions triangulaires sur les j, et ils obéissent à des règles de signe sous permutation des colonnes.

Démonstration

Pour deux spins 1/2 couplés à J=0, le symbole 3j pertinent (1/2 1/2 0; 1/2 −1/2 0) = −1/√2 (selon la convention de phase choisie), correspondant à la combinaison singulet et cohérent avec le coefficient CG après prise en compte de la normalisation et de la phase.

Mauvaise application

Traiter les symboles 3j comme identiques aux coefficients CG sans appliquer les bonnes conventions de phase et de normalisation, ou les employer pour des valeurs invalides de j ou m (violant la somme ou les contraintes triangulaires), conduit à des amplitudes et des signes erronés.

Conséquence

L'utilisation des symboles 3j facilite les manipulations algébriques en montrant clairement la symétrie par permutation, simplifie les sommes dans les problèmes de recouplage et constitue un ingrédient standard pour construire les symboles 6j et 9j pour le recouplage de plusieurs moments angulaires.

Inversion

On peut revenir aux coefficients de Clebsch–Gordan lorsqu'une amplitude de base couplée particulière est nécessaire ; la conversion implique un signe (phase) et un facteur 1/√(2j3+1) ou équivalent selon les conventions, donc aucun objet n'est strictement plus fondamental — le choix dépend de la commodité.

Limite

Défini uniquement pour des j et m entiers ou demi-entiers satisfaisant m1 + m2 + m3 = 0 et les inégalités triangulaires ; les conventions pour le signe global diffèrent selon les références, ainsi l'énoncé explicite de la convention fait partie des spécifications du symbole.

Tension sémantique

Tension entre le désir de symétrie (favorisant la notation 3j) et le besoin d'amplitudes de couplage directes (favorisant les CG) ; le choix dépend de l'importance relative de la symétrie de permutation ou de l'interprétation directe des éléments de matrice.

Synthèse

Le symbole 3j de Wigner est une forme symétrisée et normalisée des données de Clebsch–Gordan qui impose m1 + m2 + m3 = 0 et les contraintes triangulaires, choisie pour ses propriétés de permutation et son utilité dans l'algèbre de recouplage et la construction de symboles Wigner de degré supérieur.