Un coefficient numérique qui codifie le recouplage de trois moments angulaires en mécanique quantique ; c’est un scalaire symétrique construit à partir des coefficients de Clebsch–Gordan (ou symboles 3j) et noté souvent { j1 j2 j12 \ j3 j j23 } ou 6j(j1,j2,j3,j,j12,j23).

Principe

Le symbole 6j exprime la transformation unitaire entre deux schémas binaires de couplage de trois moments angulaires SU(2) et découle de l'associativité du produit tensoriel des représentations et de l'invariance rotationnelle.

Démonstration

Pour trois particules de spin 1/2, l'amplitude passant du couplage (j1+j2) en j12 puis avec j3, au couplage (j2+j3) en j23 puis avec j1, s'exprime par une somme sur des coefficients de Clebsch–Gordan qui se réduit à un seul symbole 6j ; ce facteur numérique permet de recoupler les états quand on calcule des éléments de matrice dans des bases différentes.

Mauvaise application

Employer un symbole 6j avec des arguments violant les conditions de triangle (par exemple j1,j2,j12 qui ne satisfont pas |j1-j2|≤j12≤j1+j2) ou l'appliquer à des groupes non-SU(2) sans généralisation appropriée conduit à des résultats incorrects ou non définis.

Conséquence

L'utilisation correcte des symboles 6j simplifie les transformations entre schémas de couplage, réduit des sommes de produits de coefficients de Clebsch–Gordan à des facteurs uniques et met en évidence des relations de symétrie et d'orthogonalité utiles en calcul spectroscopique et en théorie des systèmes à plusieurs corps.

Inversion

Au lieu de traiter le recouplage par un coefficient scalaire unique, on pourrait insister sur des sommes explicites de produits de coefficients de Clebsch–Gordan pour chaque transformation ; c'est équivalent mais cache la symétrie et l'efficacité de calcul.

Limite

S'applique au couplage de moments angulaires SU(2) (et à ses q-déformations ou généralisations avec prudence) ; ne s'applique pas directement aux variables orbitales continues, aux groupes non compacts ou aux systèmes sans nombres quantiques d'angle bien définis.

Tension sémantique

Concepts proches : coefficients de Clebsch–Gordan (symboles 3j) qui couplent deux moments angulaires, et symboles 9j de Wigner qui traitent le recouplage de quatre moments angulaires ; le choix dépend du nombre de corps et du réarrangement de couplage requis.

Synthèse

Le symbole 6j de Wigner est le scalaire compact et riche en symétrie qui effectue le changement de base entre deux ordres binaires de couplage de trois moments angulaires, imposant les contraintes triangulaires et encodant toute la géométrie cinématique du recouplage SU(2).