Un opérateur unitaire qui met en œuvre le déplacement spatial des états quantiques par un vecteur a, typiquement écrit T(a)=exp(−i a·P/ħ), où P est l'opérateur impulsion ; il translate les fonctions d'onde, engendre les translations spatiales et encode la relation entre symétrie de translation et conservation de la quantité de mouvement.

Principe

Les translations continues sont engendrées par l'opérateur impulsion : une translation infinitésimale δa agit via 1 − (i/ħ)δa·P, et l'invariance exacte de l'Hamiltonien par translations finies implique [P,H]=0 et la conservation de la quantité de mouvement ; T(a) agit sur les états propres de position et les champs comme un opérateur de décalage.

Démonstration

Appliquer T(a) à une fonction d'onde en espace de position ψ(x) donne ψ(x−a). Dans un potentiel invariant par translation (particule libre ou milieu homogène), les états propres de quantité de mouvement sont stationnaires à une phase près et la diffusion conserve la quantité de mouvement totale.

Mauvaise application

Employer l'opérateur de translation continue T(a)=exp(−i a·P/ħ) dans des contextes à réseau discret sans tenir compte de la périodicité de Bloch, ou ignorer les conditions aux limites si l'état translaté sort du domaine de P ; cela conduit à des conclusions erronées sur le spectre ou les symétries.

Conséquence

Lorsqu'il est valide, l'opérateur de translation entraîne la conservation de la quantité de mouvement linéaire, permet la décomposition en états propres d'impulsion, sous-tend le théorème de Bloch dans les systèmes périodiques (via des translations discrètes) et simplifie l'identification des courants conservés.

Inversion

La rupture de l'invariance par translation (via potentiels externes, impuretés ou frontières) est l'inverse conceptuel : la quantité de mouvement n'est plus nécessairement conservée, les états propres peuvent être localisés ou mélangés en impulsion et les translations ne mappent plus des états propres d'énergie en états propres d'énergie.

Limite

S'applique aux translations spatiales dans des espaces continus ou discrets munis de générateurs d'impulsion bien définis ; exclut les décalages de degrés internes, les transformations de jauge qui ne sont pas des déplacements spatiaux, et les situations où des problèmes de domaine ou des potentiels singuliers invalident la forme exponentielle naïve du générateur.

Tension sémantique

Une tension existe entre les opérateurs de translation continus et les opérateurs de déplacement sur réseau : les deux déplacent des états mais ont des générateurs et spectres différents (impulsion vs impulsion cristalline) ; il faut aussi distinguer les translations de l'évolution temporelle générée par l'Hamiltonien (sens physique différent).

Synthèse

L'opérateur de translation est l'implémenteur unitaire du déplacement spatial en mécanique quantique : engendré par l'impulsion, il décale fonctions d'onde et champs, incarne la symétrie de translation dont l'exactitude implique la conservation de la quantité de mouvement, et s'adapte aux structures spatiales discrètes ou continues via des modifications correspondantes (impulsion cristalline, conditions aux limites).