Un homomorphisme du groupe de Lie SU(2) vers le groupe des opérateurs unitaires sur un espace de Hilbert qui met en œuvre la symétrie SU(2) ; les représentations unitaires irréductibles de dimension finie sont étiquetées par le spin j (mi-entiers) et ont dimension 2j+1, réalisant les multiplets de moment angulaire en systèmes quantiques.

Principe

Les représentations unitaires préservent le produit scalaire et réalisent l'action du groupe sur l'espace d'états ; les méthodes du poids dominant ou des opérateurs escalier classifient les représentations irréductibles et déterminent les spectres admissibles des générateurs (J^2, J_z).

Démonstration

Représentation spin 1/2 : dimension 2 avec générateurs J_i = (ħ/2) σ_i. Représentation spin 1 : représentation vectorielle de dimension 3 agissant sur des triplets. L'addition des moments angulaires se réalise par produit tensoriel et décomposition de Clebsch–Gordan en blocs irréductibles SU(2).

Mauvaise application

Confondre les représentations de SU(2) avec celles de SO(3) (SU(2) comprend des spins demi-entiers qui ne descendent pas à SO(3)), supposer que toutes les représentations sont fidèles, ou employer des représentations non unitaires pour modéliser des états quantiques physiques.

Conséquence

Classification du spin des particules et des structures de multiplets, règles de combinaison des moments angulaires, prédiction des dégénérescences et des règles de sélection pour les transitions, et méthode structurée pour construire des opérateurs se transformant covariamment sous rotations.

Inversion

Considérer uniquement des représentations projectives ou non unitaires change l'interprétation physique (peut décrire des actions anormales ou non physiques) ; se limiter aux représentations de SO(3) exclurait les spineurs (spins demi-entiers).

Limite

Se concentre sur les représentations unitaires irréductibles finies de SU(2) pertinentes pour le spin non relativiste et le moment angulaire ; les représentations infinies-dimensionnelles ou non unitaires et les contextes de champs de jauge exigent une structure supplémentaire et dépassent ce cadre restreint.

Tension sémantique

Représentation mathématique abstraite (homomorphisme de groupe) versus réalisation physique en opérateurs précis sur l'espace de Hilbert d'un système ; tension entre la classification par poids dominant et la construction pratique des domaines d'opérateurs et des protocoles de mesure.

Synthèse

Une représentation de SU(2) est la mise en œuvre unitaire de la symétrie SU(2) sous forme d'opérateurs agissant sur des états quantiques : les représentations irréductibles finies indexées par un spin demi-entier produisent les multiplets et règles de sélection familiers du moment angulaire, et les produits tensoriels décrivent la combinaison du spin dans les systèmes composites.