Un e9le9ment du centre de l'alge8bre enveloppante universelle d'une alge8bre de Lie (ou son rf4le repre9sente9 comme ope9rateur sur un espace de Hilbert) qui commute avec tous les ge9ne9rateurs de l'alge8bre de Lie et agit donc comme un multiple scalaire de l'identite9 sur chaque repre9sentation irre9ductible.

Principe

Les ope9rateurs de Casimir sont construits e0 partir de formes biline9aires invariantes (pour les alge8bres semi-simples la forme de Killing) et fournissent des charges centrales qui classent et distinguent les repre9sentations irre9ductibles ; ils proviennent des invariants de l'action adjointe et commutent avec l'alge8bre tout entie8re.

Démonstration

Pour so(3)/su(2) le Casimir quadratique est J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 ; sur une repre9sentation irre9ductible de spin j il agit comme hbar^2 j(j+1) multiplie9 par l'identite9, ce qui classe la repre9sentation et de9termine le spectre d'ope9rateurs invariants par rotation comme la partie centrale d'un hamiltonien.

Mauvaise application

Pre9tendre que la valeur du Casimir de9termine e0 elle seule toutes les caracte9ristiques structurelles d'une repre9sentation dans des contextes re9ductibles ou non semi-simples est errone9 ; des repre9sentations irre9ductibles diffe9rentes d'alge8bres non semi-simples peuvent partager des valeurs de Casimir, et des proble8mes d'ordonnancement ope9rateuriels modifient les expressions quantiques.

Conséquence

Les valeurs propres du Casimir servent d'e9tiquettes pour les repre9sentations irre9ductibles et simplifient les proble8mes spectraux en re9duisant l'action d'ope9rateurs e0 des scalaires sur les sous-espaces irre9ductibles ; elles facilitent le choix des e9tats de base et le calcul des de9ge9ne9rences d'energie dans des syste8mes syme9triques.

Inversion

Au lieu de se concentrer sur les e9le9ments centraux de Casimir, on peut e9tudier des ope9rateurs conserve9s non centraux qui distinguent une structure plus fine au sein des repre9sentations ; supprimer les contraintes de Casimir met en avant des extensions alge9briques ou des nombres quantiques additionnels ne9cessaires pour lever des de9ge9ne9rences.

Limite

La de9finition suppose une alge8bre de Lie (ge9ne9ralement semi-simple) munie d'une forme invariante non de9ge9ne9re9e ; pour les alge8bres solvables ou de dimension infinie, les constructions de Casimir peuvent ne pas exister ou exiger une re9gularisation. Les ambiguefts d'ordonnancement quantique doivent eatre traite9es lors de la promotion d'invariants classiques en ope9rateurs.

Tension sémantique

La tension survient entre traiter les Casimir comme des quantifiables observables conserve9es et les voir comme de simples e9tiquettes de repre9sentation : ils ont souvent des conse9quences spectrales directes mais ne de9signent pas e0 eux seuls la dynamique ou l'ensemble des nombres quantiques.

Synthèse

Un ope9rateur de Casimir est un ope9rateur central et invariant construit e0 partir de l'alge8bre de Lie qui agit comme un scalaire sur les repre9sentations irre9ductibles ; il sert e0 la fois d'e9tiquette de repre9sentation et d'outil de calcul pour re9duire des proble8mes spectraux syme9triques e0 des e9quations d'autovaleurs scalaires.