Un schéma d’approximation qui remplace les interactions entre particules par un champ effectif moyen ou autoconsistant agissant sur chaque particule, réduisant ainsi un problème many-body à des problèmes à une particule couplés par ce champ moyen.

Principe

Supposer que les fluctuations autour d’une valeur moyenne sont petites ou que les corrélations peuvent être factorisées, et remplacer les opérateurs d’interaction par leurs valeurs d’attente pour obtenir un potentiel à une particule autoconsistent ; itérer jusqu’à obtenir la cohérence.

Démonstration

Pour un condensat de Bose–Einstein, le problème many-body est approximé par l’équation de Gross–Pitaevskii où le terme d’interaction est remplacé par g|ψ(r)|^2, donnant une équation non linéaire à une particule pour la fonction d’onde du condensat ; en magnétisme, la théorie du champ moyen (Weiss) remplace les spins voisins par une aimantation moyenne.

Mauvaise application

Appliquer le champ moyen près des points critiques ou dans des systèmes de basse dimension où les fluctuations dominent ; l’utiliser pour prédire des grandeurs dépendant de corrélations à deux particules sans correction donnera des résultats qualitativement erronés.

Conséquence

Réduit la complexité de calcul et capture souvent les phases à brisure de symétrie et les diagrammes de phase qualitatifs ; fournit un point de départ exploitable pour des corrections perturbatives, l’analyse des modes collectifs et des estimations variationnelles.

Inversion

Traitements many-body exacts qui conservent les corrélations (p.ex. interaction de configuration, Monte-Carlo quantique, renormalisation de matrice de densité) capables de rendre compte des fluctuations et de l’intrication que le champ moyen ignore.

Limite

Valable lorsque les interactions sont de longue portée, le nombre de coordinations est grand ou les fluctuations sont faibles ; invalide dans les régimes fortement corrélés, de faible dimension ou critiques sans corrections de fluctuation complémentaires.

Tension sémantique

Conflit avec approches variationnelles et d’action effective : un champ moyen est un ansatz variationnel particulier (état produit ou état cohérent) et peut se formuler comme un point selle d’une action, d’où des tensions sur quels degrés de liberté traiter comme champ moyen versus variables fluctuantes.

Synthèse

L’approximation du champ moyen est une simplification contrôlée qui remplace les interactions many-body par un champ moyen autoconsistent, échangeant corrélations exactes contre tractabilité et servant de base à l’inclusion systématique des fluctuations.