Le théorème de Bloch affirme que dans un système soumis à un potentiel spatialement périodique (invariant par un groupe discret de translations du réseau), les états propres mono-particule peuvent être choisis comme ondes de Bloch de la forme ψ_{k}(r) = e^{i k·r} u_{k}(r) avec u_{k}(r) de même périodicité que le réseau. Par conséquent, la quantité de mouvement modulo vecteurs du réseau réciproque (momentum cristallin) étiquette les états propres et conduit à la structure en bandes.

Principe

Le principe organisateur est que la symétrie par translation discrète implique une quasi-conservation du moment et permet la diagonalisation simultanée de l'Hamiltonien et des opérateurs de translation du réseau, réduisant le problème à une cellule unité finie paramétrée par un vecteur d'onde k dans la zone de Brillouin.

Démonstration

Exemple : des électrons dans un potentiel périodique unidimensionnel (modèle de Kronig–Penney) admettent des solutions de Bloch ; résoudre sur une cellule unité avec conditions aux limites donne des bandes d'énergie E_n(k) continues en k et des gaps aux bords de la zone de Brillouin, prédisant conducteurs et isolants en théorie des bandes.

Mauvaise application

Appliquer le théorème de Bloch en présence de fort désordre, de potentiels incommensurables ou lorsque la symétrie de translation est brisée par des interactions ou par translations magnétiques ; cela conduit à une attribution incorrecte du momentum cristallin et des bandes, et ignore les effets de localisation.

Conséquence

Le théorème de Bloch sous-tend la théorie des bandes, justifie la zone de Brillouin, les ondes de Bloch et les oscillations de Bloch, et permet d'utiliser les fonctions de Bloch pour calculer transport, réponses optiques et invariants topologiques de bandes.

Inversion

La situation inverse comprend des états propres localisés qui ne se comportent pas comme des ondes de Bloch, tels que des états d'Anderson localisés ou des orbitales fortement localisées ; on peut alors recourir à des fonctions de Wannier ou à d'autres bases localisées pour décrire la physique.

Limite

S'applique lorsque l'Hamiltonien est invariant sous un groupe discret de translations du réseau ; il ne s'applique pas aux systèmes finis ou amorphes sans périodicité, aux systèmes où la symétrie de translation est brisée, ni à certains contextes magnétiques/avec flux où il faut employer des opérateurs de translation magnétiques.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'image mono-particule de Bloch (fonctions étendues, bandes bien définies) et des descriptions mettant en avant la localisation, les interactions fortes ou des dégénérescences topologiques pour lesquelles l'étiquetage de Bloch peut être insuffisant ou demander une généralisation.

Synthèse

Le théorème de Bloch est la conséquence formelle de la symétrie de translation discrète : il garantit qu'on peut choisir des états propres comme ondes de Bloch étiquetées par un quasi-moment et fournit la base de la théorie des bandes en matière condensée, sa validité étant limitée par le désordre, l'absence de périodicité ou la rupture de symétrie.