Le nombre de coefficients de Schmidt non nuls dans la décomposition de Schmidt d'un état pur bipartite ; équivalemment le rang de chacune des matrices densité réduites. C'est un invariant à valeurs entières qui capture le nombre minimal de termes produits nécessaires pour exprimer l'état.

Principe

Le rang de Schmidt mesure la dimension algébrique de l'intrication : un rang 1 indique la séparabilité, tandis que rang > 1 indique un certain degré d'intrication et impose des limites sur les transformations LOCC possibles.

Démonstration

Un état de Bell à deux qubits a rang de Schmidt 2. Un état pur de deux qutrits avec trois coefficients de Schmidt non nuls égaux a rang de Schmidt 3. Le rang de la matrice densité réduite est égal au nombre de coefficients de Schmidt non nuls.

Mauvaise application

Employer le rang de Schmidt comme quantificateur fin de la force d'intrication est trompeur : il est grossier et insensible aux valeurs des coefficients, ainsi deux états de même rang peuvent avoir des entropies d'intrication très différentes.

Conséquence

Le rang de Schmidt contraint la convertibilité sous LOCC déterministe (le rang ne peut pas augmenter) et informe la classification sous SLOCC ; il fixe les ressources minimales pour la synthèse exacte d'états via opérations locales et communication classique.

Inversion

L'inverse est un état pur séparable de rang de Schmidt 1, exprimable par un unique vecteur produit et ne portant aucune intrication bipartite.

Limite

Défini pour des états purs bipartites ; pour des états mixtes la quantité analogue est le nombre de Schmidt ou des extensions par toit convexe. En dimension infinie le rang peut être infini ou exiger des procédures limites.

Tension sémantique

Il existe une tension entre le rang de Schmidt et des mesures continues comme l'entropie d'intrication : le rang est discret et algébrique, tandis que l'entropie rend compte de la distribution des poids ; les deux sont utiles mais répondent à des questions structurelles différentes.

Synthèse

Le rang de Schmidt est une mesure entière du nombre de composantes produit orthogonales requises pour construire un état pur bipartite, indiquant la séparabilité lorsque égal à un et imposant des contraintes algébriques sur les transformations d'état et les ressources nécessaires.