Une mesure de distinguabilité de type métrique entre états quantiques définie comme la moitié de la norme trace de leur différence ; elle varie de 0 pour états identiques à 1 pour états parfaitement distinguables en dimension finie.

Principe

La distance de trace donne le biais maximal (sur toutes les mesures) pour distinguer deux états en une expérience à coup unique ; elle satisfait l'inégalité triangulaire et se contracte sous applications complètement positives et trace-préservantes (principe de traitement des données).

Démonstration

Pour deux états purs orthogonaux la distance de trace vaut 1, ce qui signifie qu'il existe une mesure qui les distingue avec certitude ; pour états mixtes proches la distance vaut la moitié de la somme des différences absolues des valeurs propres dans une base diagonalisante.

Mauvaise application

Employer la distance de trace comme synonyme de fidélité ou d'entropie relative sans tenir compte des différences opérationnelles (p. ex. worst-case à coup unique vs distinguabilité moyenne ou asymptotique) conduit à des affirmations de performance erronées.

Conséquence

Bien utilisée, la distance de trace fournit des bornes serrées sur les probabilités d'erreur en discrimination à coup unique et assure des garanties opérationnelles worst-case pour l'indistinguabilité cryptographique et les seuils de correction d'erreur.

Inversion

En inversant la perspective, on peut exprimer la proximité par la fidélité ou l'entropie relative, qui mettent respectivement l'accent sur la probabilité de transition ou la distinguabilité asymptotique ; cette inversion clarifie quel régime opérationnel on cible.

Limite

Définie convenablement pour opérateurs de classe trace ; en espaces de Hilbert de dimension infinie il faut prudence car la norme trace peut être infinie et les interprétations opérationnelles exigent des restrictions de domaine.

Tension sémantique

Tension entre l'interprétation worst-case, optimisée par mesure, de la distance de trace et d'autres mesures de similarité spécifiques à la tâche ; choisir la distance de trace privilégie des scénarios adversariaux à coup unique plutôt que des métriques en moyenne.

Synthèse

La distance de trace est une mesure de distinguabilité optimisée par mesure —utile pour évaluations worst-case à coup unique— complémentaire de la fidélité et de l'entropie relative, qui capturent d'autres régimes opérationnels.