La construction d'un état pur dans un espace de Hilbert agrandi dont la trace partielle sur un sous-système auxiliaire donne un état mixte (opérateur densité) donné. Tout opérateur densité ρ sur un système A admet au moins une purification |Ψ⟩_{AB} telle que Tr_B(|Ψ⟩⟨Ψ|_{AB})=ρ_A.

Principe

Représenter les mélanges statistiques d'états mixtes comme réductions d'états purs intriqués en introduisant un espace auxiliaire ; les purifications existent pour tous les opérateurs densité et sont uniques à une isométrie locale sur l'auxiliaire près.

Démonstration

Pour un état mixte de qubit ρ=∑_i p_i |φ_i⟩⟨φ_i|, construire |Ψ⟩_{AB}=∑_i sqrt{p_i} |φ_i⟩_A ⊗ |i⟩_B avec une base auxiliaire orthonormée {|i⟩} ; la trace partielle sur B redonne ρ. Pour l'état maximement mélangé de qubit, une purification est l'état de Bell maximement intriqué à deux qubits.

Mauvaise application

Considérer la purification comme une décomposition unique de ρ en éléments d'ensemble, ou supposer que l'auxiliaire est physiquement réel et unique. Une autre erreur consiste à croire que la purification supprime toute ignorance classique plutôt que de la représenter par des corrélations d'intrication.

Conséquence

La purification permet d'étudier les propriétés d'états mixtes via des techniques d'états purs, soutient des notions comme l'entropie de formation, et fournit un cadre pour représenter modèles système–environnement et dilatations unitaires de canaux.

Inversion

Au lieu d'élever à un état pur sur un espace plus grand, on peut travailler directement avec des décompositions en ensembles ou des représentations de Kraus ; ces approches évitent un auxiliaire explicite mais peuvent masquer la structure d'intrication.

Limite

S'applique à tout opérateur densité sur des espaces de Hilbert séparables ; la dimension de l'auxiliaire n'est pas unique mais peut être choisie finie si ρ a rang fini. La purification ne donne pas d'environnement physique unique et ne renseigne pas sur la dynamique sauf si une dilatation spécifique est choisie.

Tension sémantique

Tension entre la purification (incorporer la mixté en intrication avec un auxiliaire) et les interprétations par ensembles (voir l'état mixte comme probabilité classique sur des purs). Les deux représentent le même ρ mais diffèrent opérationnellement et interprétativement.

Synthèse

La purification est le dispositif formel qui exprime tout état quantique mixte comme l'état réduit d'un état pur plus grand : existence et unicité à une isométrie près relient les mélanges statistiques à des descriptions pures intriquées et fondent de nombreux résultats structurels et opérationnels en information quantique.