Une équation d'onde relativiste d'ordre deux pour des champs ou particules scalaires (spin 0), obtenue en promouvant la relation relativiste énergie–impulsion E^2 = p^2 + m^2 en équation opératorielle, généralement écrite (□ + m^2)φ(x) = 0 où □ est le d'Alembertien.

Principe

Imposer l'invariance de Lorentz en utilisant la relation énergie–impulsion invariante comme contrainte opératorielle sur un champ ou une fonction d'onde ; cela donne une équation différentielle linéaire d'ordre deux en temps dont les solutions se transforment comme des scalaires de Lorentz.

Démonstration

Pour un scalaire libre de masse m, les solutions en onde plane φ(x) = e^{-i p·x} satisfont p^2 = m^2 ; la quantification du champ conduit à des opérateurs de création et d'annihilation pour particules et antiparticules. En physique des particules, un pion neutre peut être approximé par un champ scalaire obéissant à l'équation de Klein–Gordon dans la limite libre.

Mauvaise application

Traiter le champ Klein–Gordon φ(x) comme une fonction d'onde monodirigée de Schrödinger avec une densité de probabilité strictement positive ; interpréter φ*φ comme densité de probabilité conservée aboutit à des problèmes de signe et d'interprétation car le courant conservé a une composante temporelle non définie positive.

Conséquence

Conduit naturellement à la nécessité de la quantification du champ pour une interprétation probabiliste cohérente, prédit des solutions d'énergie positive et négative (et donc des antiparticules une fois quantifié), et impose la relation de dispersion relativiste E^2 = p^2 + m^2 pour les excitations.

Inversion

L'équation de Schrödinger non relativiste est d'ordre un en temps et se retrouve comme limite basse vitesse de Klein–Gordon après suppression de l'oscillation d'énergie de repos ; pour des particules de spin 1/2, l'équation de Dirac fournit une alternative relativiste d'ordre un avec des propriétés de transformation différentes.

Limite

S'applique aux champs scalaires de spin 0 en espace-temps de Minkowski ou en espace-temps courbe avec un couplage minimal adapté ; elle ne décrit pas correctement les particules de spin 1/2 ou de plus haut spin sans structure supplémentaire et ne résout pas, en tant que telle, les problèmes de normalisation en interprétation mono-particulaire.

Tension sémantique

Conflit d'usage avec l'équation de Dirac comme équation d'onde relativiste : Klein–Gordon est d'ordre deux et scalaire, Dirac est d'ordre un et spinoriel. Il existe une tension entre l'interpréter comme équation mono-particule et comme équation de champ classique/quantique.

Synthèse

L'équation de Klein–Gordon est l'équation de champ lorentz-invariante d'ordre deux qui met en œuvre la relation énergie–impulsion relativiste pour les excitations de spin 0 ; ses solutions formelles font apparaître la nécessité de la quantification et constituent le point de départ pour construire des champs scalaires quantiques et leurs interactions.