La relation mathématique qui relie énergie et impulsion pour des particules ou excitations relativistes ; pour une particule libre de masse m on a E^2=(pc)^2+(mc^2)^2, et plus généralement elle prescrit comment l’énergie dépend du vecteur d’onde ou de l’impulsion dans une théorie invariante de Lorentz.

Principe

L’invariance de Lorentz et la condition de coquille de masse (mass shell) contraignent les paires énergie–impulsion autorisées ; la relation de dispersion détermine vitesse de phase, vitesse de groupe et seuils cinématiques et se déduit de l’invariant relativiste E^2−(pc)^2=(mc^2)^2 ou de la forme opératorielle de l’hamiltonien dans une théorie donnée.

Démonstration

Pour une particule relativiste libre de masse m : E(p)=±√((pc)^2+(mc^2)^2). Dans la limite sans masse (m→0) cela réduit à E=±pc, donnant des vitesses de phase et de groupe égales à c ; pour p petit la branche positive se développe en E ≈ mc^2 + p^2/2m (récupérant la limite non relativiste).

Mauvaise application

Employer la dispersion quadratique non relativiste E≈p^2/2m à des énergies comparables ou supérieures à mc^2, ou appliquer sans modification la relation relativiste d’une particule libre à l’intérieur de milieux dispersifs ou de systèmes fortement corrélés où des masses effectives ou des structures de bandes modifient la dispersion.

Conséquence

Dictée la vitesse de propagation, l’élargissement des paquets d’ondes, les canaux de désintégration ou de diffusion permis (contraintes cinématiques) et l’existence de branches d’énergie positive/négative à l’origine de phénomènes tels que la Zitterbewegung et les seuils de création de paires.

Inversion

La relation de dispersion non relativiste (classique) E≈p^2/2m est la limite inversée de la relation relativiste à faible impulsion ; alternativement, des relations de dispersion spécifiques au milieu peuvent inverser la forme relativiste en espace libre, donnant des vitesses de groupe différentes de c.

Limite

Valable pour particules libres ou excitations dans le vide et pour des descriptions effectives d’un seul corps qui préservent les symétries pertinentes ; elle est modifiée dans les milieux, dans les systèmes à réseau (dispersions de bandes) ou lorsque interactions ou effets de taille finie introduisent des corrections d’autoénergie.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la dispersion relativiste d’un seul corps (dérivée de l’invariance de Lorentz) et les dispersions effectives en matière condensée ou en milieux plusieurs corps où une dispersion linéaire « de type relativiste » peut apparaître mais avec une origine et des contraintes physiques différentes.

Synthèse

La relation de dispersion relativiste est la contrainte lorentzienne entre énergie et impulsion qui détermine la propagation des ondes et la cinématique des particules relativistes ; en pratique elle doit être adaptée lorsque interactions, milieux ou structures discrètes modifient la relation effective.