La transformation intégrale unitaire qui mappe les fonctions d’onde entre bases conjuguées (le plus souvent position et impulsion) en décomposant un état en composantes d’onde plane ; en mécanique quantique elle réalise le changement de base entre représentations en position et en impulsion.

Principe

La position et l’impulsion sont des variables conjuguées reliées par la relation de commutation canonique [x,p]=iħ ; la transformée de Fourier exprime une fonction d’onde comme coefficients des états propres d’impulsion et préserve les produits scalaires (unitarité) si la normalisation est cohérente avec ħ et la convention choisie.

Démonstration

Conventions usuelles : ψ̃(p)=⟨p|ψ⟩=(1/(2πħ)^{1/2}) ∫_{−∞}^{∞} e^{−ipx/ħ} ψ(x) dx, et inverse ψ(x)=(1/(2πħ)^{1/2}) ∫ e^{ipx/ħ} ψ̃(p) dp. Sous évolution libre, chaque composante de moment acquiert une phase e^{−iE(p)t/ħ} fixée par la relation de dispersion.

Mauvaise application

Omettre ou mal placer les facteurs ħ ou 2π, utiliser une normalisation incohérente rendant la transformée non unitaire, ou appliquer la transformée de Fourier continue à des états non L^2 (ondes planes) sans le formalisme de l’espace de Hilbert renforcé/distributions.

Conséquence

Fournit la représentation en impulsion, permet de calculer distributions de moment et valeurs d’attente, sous-tend la relation d’incertitude position–impulsion et simplifie la résolution temporelle quand l’hamiltonien est diagonal dans la base impulsionnelle.

Inversion

La transformée inverse restitue la représentation originale ; remplacer la transformée de Fourier par d’autres transformées intégrales (ondelettes, transformée de Fourier fractionnaire) change les grandeurs conjuguées diagonalées et peut échanger localité et résolution spectrale.

Limite

Valable pour fonctions d’onde carrément intégrables L^2(R^n) avec la normalisation appropriée ; généralisée aux distributions pour états propres idéalisés et aux transformées de Fourier discrètes pour systèmes à spectre discret ou conditions aux limites périodiques.

Tension sémantique

Des conventions différentes de phase et de normalisation (emplacement des facteurs 2π, signe de l’exposant) induisent une tension sur la forme précise de la transformée ; c’est sémantique plutôt que physique, mais mélanger les conventions mène à des erreurs de calcul.

Synthèse

La transformée de Fourier en mécanique quantique est le changement de base unitaire entre représentations de position et d’impulsion, gouverné par ħ et les conventions de normalisation ; elle manifeste la conjugaison de x et p et est indispensable pour obtenir amplitudes en impulsion et étudier l’évolution.