Le crochet de Moyal est l'analogue en espace des phases du commutateur quantique, défini dans la formalisation de Wigner–Weyl : pour deux fonctions de phase f et g il s'écrit (1/(iħ))(f ⋆ g − g ⋆ f), où ⋆ désigne le produit de Moyal (produit étoile) agissant sur les variables de phase classiques. Il génère l'évolution temporelle de la fonction de Wigner au lieu du commutateur d'opérateurs.

Principe

La quantification de la dynamique en espace des phases se fait en remplaçant le crochet de Poisson classique par le crochet de Moyal ; les corrections quantiques apparaissent comme des termes d'ordre supérieur en ħ dans le développement du produit étoile, de sorte que le crochet de Moyal tend vers le crochet de Poisson lorsque ħ → 0.

Démonstration

Dans la représentation de Wigner pour un système unidimensionnel, calculer le crochet de Moyal de x et p : {x,p}_Moyal = (1/(iħ))(x ⋆ p − p ⋆ x) = 1, ce qui reproduit la relation de commutation canonique sous forme espace-des-phases. Pour l'oscillateur harmonique, l'évolution Moyal de la fonction de Wigner donne la même structure d'énergie que l'approche opérateur.

Mauvaise application

Considérer le crochet de Moyal comme identique au crochet de Poisson classique pour un ħ non nul ou l'employer avec des distributions non régulières sans tenir compte du développement du produit étoile conduit à des dynamiques incorrectes et à des prédictions trompeuses.

Conséquence

L'application correcte du crochet de Moyal fournit une formulation exacte de la dynamique quantique en espace des phases (équation de Moyal) et permet une expansion systématique en puissances de ħ reliant descriptions classiques et quantiques.

Inversion

L'inverse classique est le crochet de Poisson obtenu en prenant la limite ħ → 0 du crochet de Moyal ; opérationnellement, remplacer le produit étoile par la multiplication ordinaire élimine les termes d'interférence quantique et ramène à un écoulement classique en espace des phases.

Limite

Le crochet de Moyal s'applique dans les représentations espace-des-phases (Wigner–Weyl) pour des fonctions c-numériques bien comportées ; il n'est pas un opérateur direct sur l'espace de Hilbert sans application de la transformée de Wigner–Weyl et devient délicat pour des distributions très singulières ou lorsque la topologie de l'espace des phases interdit une représentation de Wigner globale.

Tension sémantique

Tension entre lire le crochet de Moyal comme un objet quantique exact et le voir comme une correction semiclassique au crochet de Poisson ; selon le contexte il sert d'outil exact ou d'approximation ordonnée en ħ.

Synthèse

Le crochet de Moyal unit la dynamique par commutateurs d'opérateurs et le flux en espace des phases : il est le générateur exact de l'évolution quantique des fonctions de Wigner, tendant au crochet de Poisson quand ħ s'annule tout en codant l'interférence quantique via le produit étoile non commutatif.