L'Opérateur de Quantité de Mouvement Y est l'opérateur auto-adjoint correspondant à la composante y du moment linéaire. En représentation de position il a la forme formelle P_y = −iħ ∂/∂y (sous réserve du domaine et des conditions aux limites) ; ses fonctions propres généralisées sont des ondes planes portant un moment le long de y et il engendre les translations en direction y.

Principe

Il encode la composante y du moment linéaire, entre dans les relations de commutation canoniques avec Y : [Y,P_y] = iħ, et agit comme générateur des translations infinitésimales le long de y via des opérateurs unitaires.

Démonstration

Pour une fonction d'onde ψ(x,y,z) en trois dimensions, P_y ψ = −iħ ∂ψ/∂y. Un état onde plane exp(i p_y y/ħ) est un état propre formel de valeur propre p_y ; la probabilité de mesurer p_y se déduit de l'amplitude en représentation impulsion obtenue par transformée de Fourier en y.

Mauvaise application

Supposer que P_y est défini partout et borné, appliquer −iħ ∂/∂y sans vérifier les conditions aux limites, ou confondre états propres de moment avec états physiques normalisables en problèmes de diffusion.

Conséquence

Bien appliqué, P_y donne des résultats de mesure réels, soutient les lois de conservation liées à l'invariance sous translations en y, et impose des relations d'incertitude avec l'opérateur de position Y.

Inversion

Contrairement à l'opérateur multiplicatif Y, qui fournit des valeurs de coordonnée, P_y est différentiel et lié aux variations de phase ; en représentation impulsionnelle P_y agit par multiplication tandis que la position devient opérateur différentiel.

Limite

Non borné sur les espaces L^2 et nécessitant la spécification d'un domaine ; dans des géométries confinées (guides d'ondes, boîtes, réseaux) le spectre du moment en y est modifié (modes discrets, bandes) et la forme dérivée simple n'est pas globalement valable.

Tension sémantique

Tension entre l'interprétation du moment comme opérateur générant des transformations de symétrie et comme étiquette classique ; des champs de jauge ou potentiels magnétiques modifient l'expression différentielle simple via la couplage minimal.

Synthèse

L'Opérateur de Quantité de Mouvement Y est l'opérateur différentiel hermitien −iħ ∂/∂y en représentation de position qui représente la composante y du moment linéaire, avec des réserves pratiques sur domaines, conditions aux limites et modifications par potentiels externes.