La description des états et opérateurs quantiques dans la base des états propres d'impulsion |p⟩, où un état |ψ⟩ se représente par la fonction d'onde en impulsion φ(p) = ⟨p|ψ⟩ et les prédictions utilisent |φ(p)|^2 comme densité de probabilité en impulsion.

Principe

Les représentations sont des changements de base dans l'espace de Hilbert ; la représentation en impulsion est reliée à la représentation en position par transformée de Fourier car l'impulsion génère les translations spatiales.

Démonstration

Pour une particule sur la droite, φ(p) = (1/√2πħ) ∫ e^{-ipx/ħ} ψ(x) dx. Dans cette représentation l'opérateur impulsion agit multiplicativement (P φ)(p) = p φ(p) tandis que la position agit comme iħ ∂/∂p.

Mauvaise application

Interpréter |φ(p)|^2 comme une distribution classique de valeurs d'impulsion sans tenir compte des interférences quantiques ou confondre avec des descriptions en phase espace (par ex. fonction de Wigner).

Conséquence

Travailler en représentation d'impulsion simplifie les problèmes à symétrie translationnelle et donne un accès direct aux mesures d'impulsion et aux relations de dispersion pour l'évolution de particules libres.

Inversion

La représentation de position est l'image de Fourier conjuguée où la position agit multiplicativement et l'impulsion est différentielle ; le choix dépend de l'opérateur diagonal ou plus simple pour le problème.

Limite

S'applique aux systèmes où existe un opérateur impulsion auto-adjoint et aux degrés de liberté admettant des paramètres de moment continus ; prudence pour les espaces compacts, réseaux ou définitions relativistes du moment.

Tension sémantique

Tension entre la représentation d'impulsion comme changement complet de base et des descriptions mixtes type phase-espace qui encodent position et impulsion ; le contexte détermine la formalité la mieux adaptée.

Synthèse

La Représentation en Impulsion est la description duale par Fourier des états quantiques dans laquelle les états propres d'impulsion forment la base ; elle est naturelle pour exprimer les générateurs de translation, analyser la dispersion et calculer les probabilités de moment.