L'équation opératorielle H |ψ⟩ = E |ψ⟩ qui définit les états propres d'énergie |ψ⟩ et leurs valeurs propres associées E pour un Hamiltonien H ; les solutions donnent les énergies des états stationnaires admissibles et les vecteurs propres correspondants.

Principe

Résoudre le problème aux valeurs propres du Hamiltonien en trouvant des vecteurs non triviaux dans le domaine de l'opérateur qui sont mis à l'échelle par un scalaire E sous H ; les E admissibles appartiennent au spectre du Hamiltonien (discret, continu ou mixte).

Démonstration

Pour l'atome d'hydrogène, la séparation des variables conduit à des équations radiale et angulaire dont les solutions vérifient H |n,l,m⟩ = E_n |n,l,m⟩ ; l'ensemble discret {E_n} est constitué des valeurs propres d'énergie des états liés, étiquetées par les nombres quantiques n,l,m.

Mauvaise application

Considérer des valeurs propres numériques approximatives comme exactes sans analyser la convergence ou les problèmes de domaine, ou utiliser l'équation aux valeurs propres indépendante du temps pour des systèmes dont le Hamiltonien dépend explicitement du temps et où les valeurs propres ne représentent pas des énergies conservées.

Conséquence

Une résolution correcte produit des états stationnaires dont l'évolution temporelle est un facteur de phase, détermine les raies spectrales, les règles de sélection et les fonctions de partition thermodynamiques ; les dégénérescences reflètent des symétries et nécessitent des étiquettes supplémentaires.

Inversion

L'équation de Schrödinger dépendante du temps iħ ∂_t |ψ(t)⟩ = H(t) |ψ(t)⟩, qui gouverne l'évolution lorsque supposer une énergie définie simultanée n'est pas approprié ou lorsque H dépend du temps.

Limite

Valable pour des opérateurs définis sur des domaines appropriés d'un espace de Hilbert ; les subtilités incluent l'auto-adjointité vs l'hermiticité, le spectre continu, les conditions aux limites et les potentiels singuliers qui modifient les propriétés spectrales.

Tension sémantique

Tension entre les valeurs propres mathématiques comme éléments du spectre de l'opérateur et les énergies mesurées expérimentalement influencées par interactions, environnement et résolution de la mesure ; les étiquettes E peuvent masquer la structure de dégénérescence.

Synthèse

L'équation aux valeurs propres d'énergie identifie la décomposition spectrale du Hamiltonien : mathématiquement elle fournit valeurs propres et vecteurs propres, physiquement elle prédit énergies stationnaires, règles de sélection et fonde les méthodes perturbatives et statistiques.