Une description des degrés de liberté de spin (moment angulaire intrinsèque) d'un système quantique dans une base choisie pour les opérateurs de spin (habituellement la base propre de S_z), représentée par des matrices de dimension finie ou des spineurs réalisant l'algèbre su(2).

Principe

Utiliser la théorie des représentations de SU(2)/su(2) pour construire des matrices ou des espaces de spineurs étiquetés par le nombre quantique de spin s ; les opérateurs de spin S_i agissent sur cet espace avec les relations de commutation [S_i,S_j]=iħ ε_{ijk} S_k et une valeur propre fixe de S^2 égale à s(s+1)ħ^2.

Démonstration

Pour le spin-1/2, la représentation de spin utilise des spineurs à deux composantes et les matrices de Pauli σ_i telles que S_i = (ħ/2) σ_i ; les états propres de S_z sont |↑⟩ et |↓⟩ et les rotations sont implémentées par des matrices unitaires SU(2) 2×2.

Mauvaise application

Appliquer une matrice de représentation de spin-1/2 pour décrire le moment angulaire orbital sans passer à la représentation L appropriée, ou confondre les changements de signe du spineur sous une rotation de 2π avec des conventions de phase physiques lorsque cela n'est pas pertinent.

Conséquence

La représentation de spin facilite le calcul des mesures de spin, des valeurs moyennes et des transformations de rotation ; elle clarifie les règles de sélection pour le couplage des spins et simplifie la construction d'états de spin multiparticules via produits tensoriels et décomposition de Clebsch–Gordan.

Inversion

Une représentation complète du moment angulaire total où les parties spin et orbitale sont couplées (J = L + S) et où la seule représentation de spin ne diagonalise pas J^2, soulignant que la représentation de spin isole uniquement la partie intrinsèque.

Limite

S'applique aux sous-espaces de Hilbert du moment angulaire intrinsèque et aux représentations de dimension finie ; ne décrit pas à elle seule les fonctions d'onde spatiales et ne remplace pas le traitement des systèmes où le couplage spin-orbite ou des effets relativistes mélangent le spin avec d'autres degrés de liberté.

Tension sémantique

Tension entre considérer le spin abstraitement comme une représentation algébrique de SU(2) et le concevoir comme un vecteur classique ; la représentation est algébrique et les propriétés de transformation (double-valuedness des spineurs) diffèrent de l'intuition vectorielle naïve.

Synthèse

La représentation de spin encode le moment angulaire intrinsèque sous forme de spineurs ou de matrices de dimension finie, utilisant l'algèbre SU(2) pour prévoir les issues de mesure discrètes, le comportement sous rotations et les règles de combinaison des spins dans les systèmes composites.