Une équation aux valeurs propres pour laquelle l'opérateur admet des vecteurs propres qui conservent les relations de phase et la structure de minimum d'incertitude lors de l'évolution dynamique pertinente ; typiquement une équation O|ψ⟩=λ|ψ⟩ dont les vecteurs propres sont des états cohérents ou partagent la propriété de cohérence sous évolution temporelle.

Principe

Conjuguer la théorie spectrale des opérateurs linéaires avec la notion physique de cohérence : l'action d'un opérateur sur un état cohérent renvoie un scalaire multipliant le même motif cohérent, de sorte que les relations de phase et les minima d'incertitude sont préservés par l'opérateur et l'évolution qu'il engendre.

Démonstration

L'opérateur d'annihilation a agissant sur un état cohérent canonique |α⟩ vérifie a|α⟩=α|α⟩. C'est une équation aux valeurs propres cohérente typique : la valeur propre α est une amplitude complexe dont la phase et le module correspondent aux variables classiques de l'oscillateur et dont l'état propre reste un paquet d'onde de minimum d'incertitude sous évolution harmonique.

Mauvaise application

Considérer toute équation H|ψ⟩=E|ψ⟩ comme une équation aux valeurs propres cohérente sans vérifier que les états propres conservent des relations de phase et un caractère de minimum d'incertitude ; ou confondre 'cohérent' avec une simple superposition d'états sans contrôler la stabilité dynamique.

Conséquence

Lorsqu'une équation aux valeurs propres est effectivement cohérente, la dynamique devient semi-classique pour ces modes : les valeurs moyennes suivent des trajectoires classiques, les incertitudes demeurent proches du minimum, et des simplifications analytiques (par ex. opérateurs de déplacement, descriptions en phase-espaces classiques) deviennent valides.

Inversion

Une équation aux valeurs propres incohérente possède des états propres qui ne préservent pas les relations de phase sous évolution ou ne minimisent pas l'incertitude ; ces états se décohèrent rapidement ou ne reproduisent pas de variables classiques malgré le fait d'être vecteurs propres.

Limite

S'applique principalement aux opérateurs linéaires sur des espaces de Hilbert de dimension infinie (algèbres de type oscillateur harmonique) et aux descriptions par états purs ; ne s'étend pas automatiquement aux états mixtes, aux opérateurs non hermitiens sans construction d'état cohérent claire, ni aux opérateurs fortement non linéaires sans cadre d'états cohérents.

Tension sémantique

Une confusion existe entre 'cohérent' au sens des états cohérents optiques/oscillateurs (stables en phase, minimum d'incertitude) et 'cohérent' au sens lâche de toute superposition à phase fixe ; le premier sens impose des conditions dynamiques et d'incertitude strictes, le second non.

Synthèse

Une équation aux valeurs propres cohérente est un problème d'autovaleurs dont les autovecteurs sont des états cohérents ou conservent des propriétés de cohérence sous évolution ; l'identifier permet de remplacer des dynamiques quantiques complexes par des équations d'amplitude quasi-classiques en restant attentif au domaine, au type d'opérateur et aux limites de stabilité.