La spécification de l'état quantique (fonction d'onde ou vecteur d'état) à un temps initial t0 qui, conjointement avec l'Hamiltonien et les conditions aux limites, détermine de manière unique l'évolution unitaire ultérieure selon l'équation de Schrödinger ; la condition initiale doit appartenir au domaine de l'Hamiltonien et être normalisable.

Principe

Pour un Hamiltonien auto-adjoint donné, l'évolution temporelle unitaire est déterminée de façon unique par l'état initial ; la condition initiale encode toute l'information physique pertinente sur les valeurs d'espérance et les probabilités ultérieures via psi(t)=U(t,t0)psi(t0).

Démonstration

Paquet d'ondes gaussien normalisé psi(x,0) localisé autour de x0 avec impulsion moyenne p0 : il évolue par dispersion et translation selon l'Hamiltonien ; les valeurs moyennes suivent des trajectoires semi-classiques tandis que le paquet se disperse.

Mauvaise application

Choisir une fonction initiale non carré-intégrable ou hors du domaine de l'Hamiltonien (par exemple une fonction non normalisable et discontinue) entraîne une évolution mal définie ou des résultats non physiques et invalide les méthodes spectrales qui supposent l'appartenance au domaine.

Conséquence

Une condition initiale valide fournit des prédictions bien définies pour les observables dépendant du temps, assure la conservation de la norme sous évolution unitaire et permet des développements spectrals en fonctions propres pour calculer la dynamique et la réponse à des perturbations.

Inversion

Au lieu d'imposer une condition initiale, on peut fixer une condition finale (problèmes rétrogrades), ou utiliser des approches en états stationnaires qui évitent l'évolution temporelle explicite ; inverser la flèche temporelle revient à une propagation rétro-prédictive soumise aux mêmes règles unitaires.

Limite

Concerne spécifiquement l'état quantique à un temps initial pour l'évolution de Schrödinger en états purs ; n'inclut pas la spécification d'états mixtes par matrices de densité (même si des énoncés analogues existent pour l'évolution de Liouville-von Neumann) et ne remplace pas les conditions aux limites spatiales.

Tension sémantique

Condition initiale vs condition aux limites : les conditions initiales fixent des données temporelles de départ, tandis que les conditions aux limites contraignent le comportement spatial ou le domaine ; condition initiale vs procédure de préparation : cette dernière est le processus expérimental qui produit l'état mathématique initial et peut introduire des mélanges statistiques.

Synthèse

Une condition initiale pour l'équation de Schrödinger est l'état normalisé au temps de départ qui, s'il appartient au domaine de l'Hamiltonien et s'il est assorti des conditions aux limites spatiales appropriées, génère de façon unique une évolution unitaire et toutes les prédictions physiques ultérieures.