L'argument logique et mathématique montrant que, pour un hamiltonien invariant par translations discrètes selon les vecteurs du réseau, les états propres peuvent être choisis pour se transformer selon une représentation unidimensionnelle du groupe de translations et prennent donc la forme de Bloch ψ_k(r) = e^{i k·r} u_k(r) avec u_k périodique selon le réseau.

Principe

Exploiter la commutation des opérateurs de translation avec l'hamiltonien pour étiqueter les états propres par quasi-impulsion cristalline ; appliquer le raisonnement de représentation de groupe pour démontrer que les translations agissent comme multiplicateurs de phase, conduisant à des fonctions d'onde qui acquièrent une phase de Bloch bien définie sous translations du réseau.

Démonstration

Partir de H T_R = T_R H pour la translation du réseau T_R et un état propre ψ ; montrer que T_R ψ est aussi un état propre de même valeur propre, puis utiliser l'irréductibilité et l'univocité sur le groupe discret pour conclure T_R ψ = e^{i k·R} ψ et donc ψ_k(r)=e^{i k·r} u_k(r) avec u_k(r+R)=u_k(r).

Mauvaise application

Appliquer la démonstration du théorème de Bloch à des systèmes sans invariance par translation discrète (alliages aléatoires, solides amorphes ou réseaux fortement désordonnés) mène à des hypothèses erronées sur des états propres étendus et néglige les phénomènes de localisation.

Conséquence

Fondement rigoureux pour l'étiquetage des états par quasi-impulsion et pour l'image en bandes des solides ; permet la construction de structures de bandes, de théories de perturbation basées sur Bloch et la définition de la vitesse de Bloch et des règles de sélection liées à la symétrie du réseau.

Inversion

Si la symétrie de translation discrète est rompue (désordre, système fini à bords ouverts, potentiels incommensurables), la démonstration échoue et l'on doit s'attendre soit à des états propres discrets localisés, soit à un spectre sans bandes de Bloch, soit à la nécessité d'utiliser des groupes de symétrie alternatifs (translations magnétiques, groupes d'espace avec translations fractionnaires).

Limite

Exige l'invariance exacte sous un groupe de translations discret ; des modifications sont nécessaires en présence de champs magnétiques (introduction des opérateurs de translation magnétique et subtilités de jauge), pour des potentiels quasipériodiques, et pour des états à plusieurs corps où la rupture de symétrie ou les corrélations altèrent l'image à une particule.

Tension sémantique

Tension entre les états étendus, étiquetés par un impulsion, du théorème de Bloch et les descriptions localisées (fonctions de Wannier, localisation d'Anderson) : les deux sont des représentations valides du même espace de Hilbert si la symétrie est présente, mais la localisation devient physiquement essentielle dès que la symétrie disparaît ou que le désordre est important.

Synthèse

La Démonstration du Théorème de Bloch montre que l'invariance discrète par translation impose aux fonctions propres à une particule une structure périodique à phase étiquetée : des ondes de Bloch caractérisées par une quasi-impulsion et une enveloppe périodique par maille, base de la théorie des bandes des cristaux.