Un opérateur linéaire destiné à représenter le temps comme observable en théorie quantique ; dans des cas favorables il s'agit d'un opérateur auto-adjoint T satisfaisant une relation de commutation canonique avec l'Hamiltonien (formellement [T,H]=iħ) et dont la mesure spectrale fournit des distributions temporelles, sous réserve de contraintes de domaine et de spectre.

Principe

Un opérateur temporel légitime doit être défini sur un domaine dense dans l'espace de Hilbert en veillant à l'auto-adjonction et aux propriétés spectrales de l'Hamiltonien ; son existence est contrainte par des résultats qui interdisent un opérateur auto-adjoint globalement défini conjugué à un Hamiltonien semi-borné, sauf si l'on introduit des subtilités de domaine ou d'autres types d'opérateurs (maximalement symétriques, générateurs de POVM).

Démonstration

Dans un modèle à spectre énergétique non borné des deux côtés (particule libre idéalisée sur la droite avec spectre énergétique symétrique), on peut construire un opérateur T agissant comme générateur de translations en énergie qui satisfait formellement [T,H]=iħ sur un domaine adéquat ; sa décomposition spectrale fournit ensuite des distributions de type temporel pour les temps de transition entre états localisés en énergie.

Mauvaise application

Prendre pour acquis les manipulations algébriques formelles de CCR sans vérifier les domaines, utiliser un opérateur symétrique mais non auto-adjoint comme s'il avait une décomposition spectrale complète, ou ignorer la semi-bornitude des Hamiltoniens réalistes et en déduire l'existence d'états propres temporels inexistants.

Conséquence

Lorsqu'un opérateur temporel auto-adjoint bien défini existe et est correctement utilisé, il permet de calculer des distributions temporelles à partir des projecteurs spectraux, clarifie le rôle des inégalités temps-énergie dans des modèles spécifiques et fournit une description directe des observables de temps au niveau opérateur.

Inversion

La position inverse est d'accepter uniquement des descriptions non-opératoriales du temps (POVM ou paramètre classique) et donc d'éviter la recherche de générateurs auto-adjoints des translations temporelles au niveau opérateur, en se concentrant plutôt sur des modèles de mesure opérationnels.

Limite

Le concept se limite aux contextes où les contraintes de domaine et de spectre sont satisfaites ; il exclut l'attribution naïve d'un opérateur temps universel pour tous les systèmes quantiques et ne remplace pas les constructions opérationnelles par POVM lorsque l'auto-adjonction ne peut être atteinte.

Tension sémantique

Il existe une tension entre les expressions algébriques formelles des commutateurs canoniques et les subtilités des domaines et spectres d'opérateurs ; « opérateur temporel » peut désigner un véritable opérateur auto-adjoint dans certains modèles ou un opérateur formel/symétrique ou générateur de POVM dans d'autres.

Synthèse

Un opérateur temporel est une représentation au niveau opérateur des observables temporelles qui, lorsqu'il est auto-adjoint et correctement défini sur son domaine, agit comme générateur conjugué à l'Hamiltonien et fournit des distributions temporelles spectrales ; en l'absence d'auto-adjonction, son rôle est joué par des objets généralisés (opérateurs symétriques, POVM ou modèles d'horloge) réalisant la mesure du temps de façon opérationnelle.