Der für ein Observabel in einem gegebenen Quantenzustand vorhergesagte Mittelwert, berechnet als Spur des Produkts von Dichtematrix und Observabel: = Tr(rho A); für reine Zustände |psi> gilt = .

Prinzip

Der Erwartungswert ist ein lineares Funktional auf dem Raum der Observablen, das die statistische Vorhersage für ein Ensemble oder ein einzelnes System gemäß der Born-Regel codiert; er fasst den ersten Moment der Ergebnismenge zusammen.

Demonstration

Für ein Spin-1/2-Teilchen im Zustand |↑_z> ist die Erwartung von sigma_z = <↑_z|sigma_z|↑_z> = +1, während sie im Zustand (|↑_z>+|↓_z>)/√2 gleich 0 ist.

Fehlanwendung

Den Erwartungswert als Ergebnis einer einzelnen Messung in allen Fällen zu interpretieren; der Erwartungswert kann zwischen Eigenwerten liegen und entspricht nicht notwendigerweise einem tatsächlich gemessenen Einzelereignis, außer der Zustand ist Eigenzustand.

Konsequenz

Richtige Anwendung liefert experimentell zugängliche Mittelwerte über wiederholte Präparationen und bildet die Grundlage dynamischer Relationen (z. B. Heisenberg-Gleichungen für Erwartungswerte) sowie thermodynamischer Größen aus Operatormitteln.

Umkehrung

Der Gegensatz stellt Erwartungswerte den vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegenüber: nur Erwartungswerte zu kennen bestimmt nicht die höheren Momente oder die vollständige Statistik, daher reichen sie nicht zur Rekonstruktion der Messverteilung.

Abgrenzung

Definiert für selbstadjungierte Observablen und Zustände, für die die Spur existiert; bei unbeschränkten Operatoren muss überprüft werden, ob der Zustand im erforderlichen Definitionsbereich liegt. Erwartungswerte sind Momente, keine Wahrscheinlichkeitsmaße.

Semantische Spannung

Der Erwartungswert wird oft mit Stichprobenmittel, experimentellem Durchschnitt oder klassischer Erwartung verwechselt; im Quantenkontext ist er von weak values zu unterscheiden, die komplex sein und von Prä- und Postselektion abhängen können.

Synthese

Der Erwartungswert ist der lineare Operatormittelwert für einen Zustand und liefert das erste statistische Moment der Messergebnisse: zentral für Vorhersage und Dynamik, aber ohne Kenntnis höherer Momente unvollständig.