La valeur moyenne prédite pour un observable dans un état quantique donné, calculée comme la trace du produit de l'opérateur densité et de l'observable : = Tr(rho A) ; pour un état pur |psi>, = .

Principe

La valeur attendue est un fonctionnel linéaire sur l'espace des observables qui encode la prédiction statistique pour un ensemble ou un système unique selon la règle de Born ; elle résume le premier moment de la distribution des résultats.

Démonstration

Pour une particule spin-1/2 dans l'état |↑_z>, l'espérance de sigma_z est = <↑_z|sigma_z|↑_z> = +1, tandis que dans l'état (|↑_z>+|↓_z>)/√2 elle vaut 0.

Mauvaise application

Interpréter la valeur attendue comme le résultat d'une mesure unique dans tous les cas ; l'espérance peut se situer entre des valeurs propres et ne coïncider avec aucun résultat réel en un seul coup sauf si l'état est un vecteur propre.

Conséquence

Un emploi correct fournit des moyennes expérimentalement accessibles en répétant les préparations et sous-tend les relations dynamiques (par exemple les équations de Heisenberg pour les espérances) et les grandeurs thermodynamiques dérivées d'espérances d'opérateurs.

Inversion

La mise en contraste oppose les valeurs attendues aux distributions de probabilité complètes : connaître uniquement les espérances ne détermine pas les moments supérieurs ni la statistique complète, donc l'espérance seule ne reconstruit pas la distribution de mesure.

Limite

Définie pour des observables hermitiens et des états pour lesquels la trace existe ; pour des opérateurs non bornés il faut s'assurer que l'état appartient au domaine requis. L'espérance n'est pas une mesure de probabilité mais un moment de celle-ci.

Tension sémantique

La valeur attendue est souvent confondue avec la moyenne d'échantillon, la moyenne expérimentale ou l'espérance classique ; en contexte quantique il faut la distinguer des valeurs faibles (weak values), qui peuvent être complexes et dépendre de pré- et post-sélection.

Synthèse

La valeur attendue est la moyenne linéaire d'un opérateur donnée un état, fournissant le premier moment statistique des résultats de mesure : essentielle aux prédictions et à la dynamique, mais incomplète sans les moments supérieurs.