Der lineare Unterraum, der von allen Eigenzuständen eines Operators aufgespannt wird, die denselben Eigenwert teilen; innerhalb dieses Unterraums ist jede orthonormale Basis eine gültige Menge von Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.

Prinzip

Entartung entsteht, wenn Symmetrie oder Parametereinstellungen zur Wiederholung eines Eigenwerts führen; der Operator wirkt als Skalar auf dem Unterraum, und physikalische Observablen oder Störungen wählen bevorzugte Basen in ihm aus.

Demonstration

Für einen rotationssymmetrischen Hamiltonoperator sind Energieniveaus, die durch den Gesamtwinkelimpuls j gekennzeichnet sind, in Abwesenheit von Symmetriebrechung (2j+1)-fach entartet; der entartete Unterraum wird von den m=-j..+j-Zuständen aufgespannt.

Fehlanwendung

Die Annahme, Entartung bedeute physikalische Ununterscheidbarkeit aller Basiszustände; das Unterlassen der Diagonalisierung einer Störung innerhalb des entarteten Unterraums kann zu falschen Vorhersagen über Niveauaufspaltung und Übergangsamplituden führen.

Konsequenz

Entartete Unterräume erfordern die Wahl einer physikalisch sinnvollen Basis (z. B. gemeinsame Eigenzustände kommutierender Observablen oder Diagonalisierung von Störungen); Störungen heben typischerweise die Entartung auf und erzeugen Aufspaltungen, die durch Matrixelemente innerhalb des Unterraums bestimmt werden.

Umkehrung

Ein nicht entarteter Eigenwert definiert einen eindimensionalen invarianten Unterraum, der den Eigenvektor bis auf eine Phase festlegt und damit die interne Basisfreiheit entarteter Unterräume entfernt.

Abgrenzung

Entartung ist operatorspezifisch und kann durch Änderung des Operators, der Randbedingungen, der Wechselwirkungen oder durch Symmetriebrechungsfelder aufgehoben werden; nahe Entartung (kleine Lücken) verhält sich in der Störungstheorie anders als exakte Entartung.

Semantische Spannung

Unterscheide symmetriegeschützte (strukturierte) Entartung von zufälliger Entartung; unterscheide exakte Entartung von nahezu-Entartung und die Entartung eines Operators von gemeinsamer Entartung mehrerer kommutierender Operatoren.

Synthese

Ein entarteter Unterraum ist der invariante Vektorraum, der mit einem mehrfachen Eigenwert assoziiert ist; seine interne Basisfreiheit kodiert physikalische Wahlentscheidungen, die durch Symmetrie, Messung oder Störung festgelegt werden, und ist für korrekte spektrale und dynamische Vorhersagen wesentlich.