Ein lokales Erhaltungsgesetz für Wahrscheinlichkeit in der nichtrelativistischen Quantenmechanik, ausgedrückt durch ∂ρ/∂t + ∇·j = 0, wobei ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2 die Wahrscheinlichkeitsdichte und j(x,t)=(ħ/2mi)(ψ*∇ψ − ψ∇ψ*) der Wahrscheinlichkeitsstrom für eine Schrödingergleichungs-Lösung ψ ist.

Prinzip

Die unitäre Zeitentwicklung der Wellenfunktion unter einem hermiteschen Hamiltonoperator impliziert lokale Erhaltung der Wahrscheinlichkeit; mathematisch ist dies die Kontinuitätsgleichung, die zeitliche Änderung der Dichte mit der Divergenz eines Stroms verknüpft.

Demonstration

Bei einem eindimensionalen gaußschen Wellenpaket unter freier Schrödingerdynamik berechnet man ∂|ψ|^2/∂t und den Strom j=(ħ/2mi)(ψ*∂xψ−ψ∂xψ*). Direktes Einsetzen zeigt ∂ρ/∂t+∂x j=0, was veranschaulicht, dass Wahrscheinlichkeit fließt, aber die Gesamtmenge erhalten bleibt.

Fehlanwendung

Den Strom j wie einen klassischen Teilchenstrom zu behandeln, ohne Phaseninformation zu berücksichtigen (z. B. |ψ|^2 mit einer klassischen Geschwindigkeit multiplizieren), oder dieselbe Form bei einem nicht-hermiteschen Hamilton zu verwenden, führt zur Verletzung der lokalen Erhaltung und zu falschen Vorhersagen.

Konsequenz

Gilt die Kontinuitätsgleichung und verschwinden Randterme im Unendlichen, so bleibt die integrierte Gesamtwahrscheinlichkeit ∫ρ dV zeitlich konstant; lokale Erhaltung schränkt Transport, Streuung und Randbedingungen in Quantenproblemen ein.

Umkehrung

Im Gegensatz dazu führt nicht-unitäre Entwicklung (Messkollaps oder offene Systeme mit effektiven nicht-hermiteschen Termen) zum Bruch der Kontinuitätsgleichung: ∂ρ/∂t + ∇·j = s mit einer Quelle/ Senke s für Wahrscheinlichkeit.

Abgrenzung

Gilt vornehmlich für nichtrelativistische Einteilchen-Schrödingerdynamik mit ψ∈L2 bzw. für vieleteilige Wellenfunktionen mit entsprechendem Strom; nicht automatisch gültig für relativistische Feldtheorien ohne deren spezielle konservierten Ströme oder für nicht-unitäre Dynamiken.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Kontinuitätsgleichung als Aussage über lokale Wahrscheinlichkeitskonservierung und alternativen Interpretationen, in denen |ψ|^2 eine Ensemble-Dichte ist oder Wahrscheinlichkeit erst nach Messung definiert wird; außerdem Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeitsstrom und physikalischem Ladungsstrom in geladenen relativistischen Systemen.

Synthese

Die quantenmechanische Kontinuitätsgleichung ist der lokale mathematische Ausdruck der aus unitärer Schrödingerevolution folgenden Wahrscheinlichkeitskonservierung: sie verbindet die Born-Dichte |ψ|^2 mit einem phasenabhängigen Strom j und legt Beschränkungen für Dynamik und Randbedingungen fest.