Loi locale de conservation de la probabilité en mécanique quantique non relativiste, exprimée par ∂ρ/∂t + ∇·j = 0, où ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2 est la densité de probabilité et j(x,t)=(ħ/2mi)(ψ*∇ψ − ψ∇ψ*) est le courant de probabilité pour une fonction d'onde ψ régie par Schrödinger.

Principe

L'évolution unitaire de la fonction d'onde sous un hamiltonien hermitien entraîne la conservation locale de la probabilité ; formellement, la continuité relie la variation temporelle de la densité à la divergence d'un courant.

Démonstration

Pour un paquet d'ondes gaussien unidimensionnel évoluant sous l'équation de Schrödinger libre, calculer ∂|ψ|^2/∂t et le courant j=(ħ/2mi)(ψ*∂xψ−ψ∂xψ*). La substitution directe montre ∂ρ/∂t+∂x j=0, illustrant que la probabilité se transporte mais que sa quantité totale reste constante.

Mauvaise application

Considérer j comme un flux de particules classique sans tenir compte de la phase de la fonction d'onde (par exemple utiliser |ψ|^2 multiplié par une vitesse classique) ou appliquer la même forme lorsque l'hamiltonien n'est pas hermitien conduit à la violation de la conservation locale et à des prédictions erronées.

Conséquence

Si l'équation de continuité est satisfaite et que les termes de bord s'annulent à l'infini, la probabilité totale intégrée ∫ρ dV est constante dans le temps ; la conservation locale contraint le transport, la diffusion et les conditions aux limites en mécanique quantique.

Inversion

En revanche, un processus physique avec évolution non unitaire (réduction de la fonction d'onde par mesure ou système ouvert avec termes effectifs non hermitiens) brise l'équation de continuité : ∂ρ/∂t + ∇·j = s, où s représente une source ou un puits de probabilité.

Limite

S'applique principalement aux dynamiques Schrödinger mono-particule non relativistes avec ψ dans L2 ou aux fonctions d'onde multi-corps appropriées ; elle ne s'applique pas directement aux théories de champs relativistes sans utiliser leurs courants conservés spécifiques, ni aux dynamiques non unitaires.

Tension sémantique

Tension entre l'équation de continuité comme conservation locale de la probabilité et des interprétations alternatives où |ψ|^2 est une densité d'ensemble ou où la probabilité n'est définie qu'après mesure ; distinction également entre courant de probabilité et courant de charge physique en contexte relativiste et chargé.

Synthèse

L'équation de continuité quantique est l'expression mathématique locale de la conservation de la probabilité découlant de l'évolution unitaire de Schrödinger : elle relie la densité au courant dépendant de la phase et contraint les dynamiques et conditions aux limites, tout en autorisant des termes sources si l'unicité est perdue.