Ein Theorem, das die mathematische Form von Symmetrietransformationen auf Quantenzuständen charakterisiert: Jede bijektive Abbildung auf Strahlen eines Hilbertraums, die Übergangswahrscheinlichkeiten (Beträge innerer Produkte) erhält, wird bis auf eine globale Phase durch einen unitären oder antiunitären Operator implementiert.

Prinzip

Die Erhaltung der Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen Zuständen zwingt jede Symmetrietransformation dazu, durch einen linearen unitären Operator oder einen antilinearen antiunitären Operator dargestellt zu werden, womit abstrakte Symmetrieanforderungen auf konkrete Hilbertraumoperatoren reduziert werden.

Demonstration

Rotationssymmetrien werden durch unitäre Repräsentationen auf Zustandsvektoren realisiert; Zeitumkehr ist das kanonische Beispiel einer antiunitären Implementierung, weil sie Phasen in einer Weise umkehrt, die komplexe Konjugation zusammen mit einem unitären Anteil erfordert.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jede physikalisch relevante Abbildung, die einige Erwartungswerte oder Wahrscheinlichkeiten erhält, müsse unitär sein; die Möglichkeit antiunitärer Implementierungen zu ignorieren oder nur zu prüfen, ob Erwartungswerte (nicht aber Übergangswahrscheinlichkeiten) erhalten bleiben, kann zu falscher Einordnung von Transformationen führen.

Konsequenz

Lieferte eine mächtige Klassifikation der möglichen Symmetrieimplementierungen in der Quantenmechanik, schränkt die Form von Symmetriegruppen und deren projektiven Darstellungen ein und führt die Konstruktion der Darstellungstheorie physikalischer Symmetrien.

Umkehrung

Abbildungen, die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht erhalten oder nicht bijektiv auf Strahlen sind (z. B. nicht spurenerhaltende Abbildungen, irreversible Operationen oder decohering Kanäle), fallen nicht unter Wigners Theorem und können im Allgemeinen nicht durch unitäre oder antiunitäre Operatoren dargestellt werden.

Abgrenzung

Gilt für Bijektionen der reinen Zustandsstrahlen, die Übergangswahrscheinlichkeiten erhalten; schließt nicht-bijektiive Operationen, allgemeine Quantalkanäle auf Dichtungsoperatoren und Kontexte aus, in denen nur begrenzte statistische Eigenschaften erhalten bleiben statt der vollständigen Strahl-zu-Strahl-Struktur.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der abstrakten Auffassung von Symmetrie als Permutation physikalischer Zustände und der Operator-Einordnung in unitäre versus antiunitäre Implementierungen; welche Form physikalisch zutrifft, kann empirische Informationen über Zeitumkehr oder andere diskrete Symmetrien erfordern.

Synthese

Wigners Theorem benennt die präzise operatorielle Gestalt quantenmechanischer Symmetrien: Jede Transformation reiner Zustände, die Übergangswahrscheinlichkeiten erhält, wird bis auf Phase durch einen unitären oder antiunitären Operator auf dem Hilbertraum realisiert und legt damit fest, wie physikalische Symmetrien in der Quantenmechanik wirken.