Un teorema que caracteriza la forma matemática de las transformaciones de simetría sobre estados cuánticos: cualquier aplicación biyectiva sobre rayos de un espacio de Hilbert que preserve probabilidades de transición (valores absolutos de productos internos) es implementada por un operador unitario o antiunitario en el espacio de Hilbert, salvo una fase global.

Principio

La preservación de probabilidades de transición entre estados obliga a que toda transformación de simetría sea representada por un operador unitario lineal o un operador antiunitario antilineal, reduciendo requisitos abstractos de simetría a operadores concretos en el espacio de Hilbert.

Demostración

Las simetrías de rotación se implementan mediante representaciones unitarias que actúan sobre vectores de estado; la inversión temporal es el ejemplo canónico de una implementación antiunitaria porque invierte fases de manera que requiere conjugación compleja combinada con una parte unitaria.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo mapa físicamente relevante que preserve algunos valores esperados o probabilidades debe ser unitario; ignorar la posibilidad de implementaciones antiunitarias o verificar solo la preservación de valores esperados (y no de probabilidades de transición) puede llevar a una clasificación errónea de transformaciones.

Consecuencia

Ofrece una poderosa clasificación de las implementaciones posibles de simetría en la mecánica cuántica, restringe la forma de los grupos de simetría y sus representaciones proyectivas, y guía la construcción de la teoría de representaciones para las simetrías físicas.

Inversión

Mapas que no preservan probabilidades de transición o que no son biyectivos sobre rayos (por ejemplo, mapas no preservadores de traza, operaciones irreversibles o canales decoherentes) no están cubiertos por el teorema de Wigner y, en general, no pueden ser representados por operadores unitarios o antiunitarios.

Límite

Se aplica a biyectivas de rayos de estados puros que preservan probabilidades de transición; excluye operaciones no biyectivas, canales cuánticos generales sobre operadores densidad y contextos donde solo se conservan propiedades estadísticas limitadas en lugar de la estructura completa rayo-a-rayo.

Tensión semántica

Existe tensión entre la noción abstracta de simetría como permutación de estados físicos y la clasificación a nivel operador en implementaciones unitarias versus antiunitarias; decidir cuál se aplica en un contexto físico puede requerir información empírica sobre la inversión temporal u otras simetrías discretas.

Síntesis

El teorema de Wigner identifica el contenido operatorio preciso de las simetrías cuánticas: cualquier transformación de estados puros que preserve probabilidades de transición se realiza, salvo fase, por un operador unitario o antiunitario en el espacio de Hilbert, delimitando cómo actúan las simetrías físicas en la teoría cuántica.