Eine Relation in der Quantenmechanik, die Erwartungswerte von kinetischer und potentieller Energie für stationäre oder entsprechend zeitlich gemittelte Zustände verbindet; für homogene Potentiale gilt oft 2⟨T⟩ = n⟨V⟩ für V(r) ∝ r^n, allgemeiner ergibt sie sich aus dem Kommutator des Hamiltonoperators mit dem Virialoperator G = r·p.

Prinzip

Skalierungssymmetrie und der Generator von Dilatationen erzwingen eine Erwartungswertsrelation: Der Kommutator des Virialoperators mit dem Hamiltonoperator legt festgelegte Beziehungen zwischen Energie-Momenten fest, sofern Randterme und Stationaritätsbedingungen erfüllt sind.

Demonstration

Gebundene Wasserstoff-ähnliche Zustände mit Coulomb-Potenzial V(r) ∝ 1/r (n = −1) erfüllen für stationäre Eigenzustände 2⟨T⟩ + ⟨V⟩ = 0, was als Konsistenzprüfung für berechnete Wellenfunktionen und Erwartungswerte dient.

Fehlanwendung

Die Anwendung des quantenmechanischen Virialsatzes auf nichtstationäre, streuende oder nicht-normalisierbare Zustände ohne Berücksichtigung von Oberflächentermen oder auf offene/dissipative Systeme, in denen zusätzliche Terme auftreten, führt zu falschen Schlüssen über Energieverteilung.

Konsequenz

Unter erfüllten Voraussetzungen schränkt der Satz erlaubte Erwartungswerte ein und liefert Virial-basierte Summenregeln, Skalierungsrelationen und Prüfungen für numerische oder variationale Lösungen.

Umkehrung

Die Umkehrung — freies Annehmen unabhängiger Werte für kinetische und potentielle Erwartungswerte — entspricht dem Verlust der Stationarität, dem Ignorieren von Randbedingungen oder dem Einführen zeitabhängiger Störungen, die die Virialrelation ungültig machen.

Abgrenzung

Gilt für gebundene oder angemessen gemittelte stationäre Zustände wohlverhaltener Hamiltonoperatoren, bei denen Domänen des Virialoperators und Oberflächenterme kontrollierbar sind; schließt generische zeitabhängige, dissipative oder streuende Zustände aus, sofern keine Zusatzterme berücksichtigt werden.

Semantische Spannung

Nahe Begriffe sind der klassische Virialsatz (zeitliche Mittelungen entlang von Trajektorien) und Kommutatoridentitäten; die Spannung liegt zwischen klassischer zeitlicher Mittelungsintuition und quantenmechanischen Operator-Domänenfragen.

Synthese

Der quantenmechanische Virialsatz verbindet Skalierungssymmetrie, den Kommutator mit dem Virialoperator und Stationarität zu einer praktischen Relation zwischen kinetischen und potentiellen Erwartungswerten, nützlich für Konsistenzprüfungen und analytische Einschränkungen unter Beachtung der Gültigkeitsbedingungen.