Une relation en mécanique quantique qui relie les espérances de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle pour des états stationnaires ou des moyennes temporelles appropriées ; pour un potentiel homogène on a 2⟨T⟩ = n⟨V⟩ si V(r) ∝ r^n, et de façon plus générale la relation découle du commutateur du Hamiltonien avec l'opérateur de viriel G = r·p.

Principe

La symétrie d'échelle et le générateur des dilatations imposent une contrainte sur les valeurs moyennes : le commutateur de l'opérateur de viriel avec le Hamiltonien fixe des relations entre moments d'énergie quand les termes de bord et les conditions de stationnarité sont satisfaits.

Démonstration

Les états liés de type hydrogénoïde avec potentiel coulombien V(r) ∝ 1/r (n = −1) vérifient 2⟨T⟩ + ⟨V⟩ = 0 pour les états propres stationnaires, fournissant un test des fonctions d'onde et des valeurs moyennes calculées dans les modèles atomiques.

Mauvaise application

Appliquer la relation quantique du viriel à des états non stationnaires, de diffusion ou non normalisables sans tenir compte des termes de surface, ou à des systèmes ouverts/dissipatifs où des termes additionnels apparaissent, conduit à des conclusions erronées sur la répartition de l'énergie.

Conséquence

Lorsque les conditions sont remplies, le théorème contraint les valeurs moyennes admissibles et permet d'obtenir des règles de somme basées sur le viriel, des relations d'échelle et des contrôles de cohérence pour des solutions numériques ou variationnelles.

Inversion

La perspective inverse — supposer des valeurs indépendantes arbitraires pour les espérances cinétique et potentielle — équivaut à rompre la stationnarité, négliger les conditions aux limites ou introduire une dépendance temporelle externe qui invalide la relation du viriel.

Limite

Valide pour des états liés ou des moyennes temporelles appropriées d'Hamiltoniens bien comportés où le domaine de l'opérateur de viriel et les termes de surface sont contrôlés ; exclut les états dépendants du temps, dissipatifs ou de diffusion dans le continuum sauf inclusion de termes complémentaires.

Tension sémantique

Concepts proches : le théorème du viriel classique (moyennes temporelles le long de trajectoires) et les identités de commutateur d'opérateurs ; la tension réside entre l'intuition classique des moyennes temporelles et les subtilités quantiques des domaines d'opérateurs et des espérances.

Synthèse

Le théorème du viriel quantique réunit la symétrie d'échelle, le commutateur avec l'opérateur de viriel et la stationnarité en une contrainte pratique reliant les espérances cinétique et potentielle, utilisée pour tester des calculs et obtenir des contraintes analytiques, sous réserve des domaines opérateurs et du type d'état.