Eine asymptotische Methode zur Auswertung stark oszillierender Integrale, bei der die dominanten Beiträge aus den Punkten stammen, an denen die Phase stationär ist (Ableitung null).

Prinzip

Enthält ein Integral einen großen Parameter vor einer schnell wechselnden Phase, dominieren die Beiträge aus den Umgebungen der Punkte mit verschwindender Phasenableitung; die Phase wird bis zur zweiten Ordnung entwickelt und die resultierenden Gaußintegrale liefern die führenden Asymptotiken.

Demonstration

Für ∫_a^b A(x) exp(iλ S(x)) dx mit λ≫1 findet man x0 mit S'(x0)=0, approximiert S(x)≈S(x0)+½S''(x0)(x−x0)^2 und erhält einen Beitrag ~A(x0) e^{iλ S(x0)} e^{iπ sign(S''(x0))/4} (2π/λ|S''(x0)|)^{1/2}.

Fehlanwendung

Die Methode anzuwenden, wenn der Oszillationsparameter nicht groß ist, Stationärpunkte entartet sind (höherer Nullstelle) oder die Amplitude A(x) auf derselben kleinen Skala wie die Phase variiert, führt zu falschen Ergebnissen.

Konsequenz

Ergibt eine kontrollierte führende Näherung, die klassische stationäre Bedingungen (z. B. stationäre Wirkung) mit Welleninterferenzmustern verknüpft und Phasenfaktoren sowie Potenzgesetze für die Amplitude bei großen Parametern liefert.

Umkehrung

Die Umkehrung führt zum Blickwinkel der Methode der steilsten Abstiegsrichtungen bei komplexen Integralen, oder zeigt, dass in Abwesenheit stationärer Punkte Rand- oder Endpunkte dominieren können.

Abgrenzung

Erfordert eine glatt variierende reelle Phase S(x) mit isolierten, nicht entarteten stationären Punkten und einen großen dimensionslosen Parameter vor der Phase; schließt durch Endpunkte dominierte Integrale, singuläre Amplituden oder nicht differenzierbare Phasen aus.

Semantische Spannung

Wird oft mit der Sattelpunkt- oder Steilster-Abstieg-Methode verwechselt; die stationäre Phase behandelt ausdrücklich reelle, oszillierende Integrale, während Sattelpunktmethoden Konturdeformation in der komplexen Ebene nutzen.

Synthese

Die stationäre-Phasen-Approximation extrahiert führende asymptotische Beiträge oszillierender Integrale durch Entwicklung um stationäre Phasenpunkte und verbindet damit klassische stationäre Bedingungen mit dominanten Wellenamplituden.