Méthode asymptotique pour évaluer des intégrales de fonctions fortement oscillantes en approchant les contributions dominantes issues des points où la phase est stationnaire (dérivée nulle).

Principe

Lorsque l'intégrande contient un grand paramètre multipliant une phase rapidement variable, les voisinages des points où la dérivée de la phase s'annule fournissent l'essentiel de l'intégrale ; développer la phase au second ordre et évaluer les intégrales gaussiennes résultantes pour obtenir l'asymptotique dominante.

Démonstration

Pour ∫_a^b A(x) exp(iλ S(x)) dx avec λ≫1, repérer x0 tel que S'(x0)=0, approximer S(x)≈S(x0)+½S''(x0)(x−x0)^2 et obtenir une contribution ~A(x0) e^{iλ S(x0)} e^{iπ sign(S''(x0))/4} (2π/λ|S''(x0)|)^{1/2}.

Mauvaise application

Appliquer la méthode quand le paramètre d'oscillation n'est pas grand, quand les points stationnaires sont dégénérés (zéros d'ordre supérieur), ou quand l'amplitude A(x) varie à la même petite échelle que la phase conduit à des résultats erronés.

Conséquence

Fournit une approximation contrôlée au premier ordre reliant les conditions stationnaires classiques (par exemple action stationnaire) aux schémas d'interférence ondulatoire, et donne les facteurs de phase et la loi d'échelle en amplitude pour de grands paramètres.

Inversion

Inverser l'idée conduit au point de vue des pentes les plus raides pour les intégrales complexes ou montre que, s'il n'existe pas de point stationnaire dans la région, les contributions aux bornes ou aux extrémités peuvent dominer à la place.

Limite

Nécessite une phase réelle S(x) à variation douce avec des points stationnaires isolés et non dégénérés et un grand paramètre sans dimension multipliant la phase ; exclut les intégrales dominées par les extrémités, les amplitudes singulières ou les phases non différentiables.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la méthode du point selle ou de la pente la plus raide ; la phase stationnaire traite explicitement des intégrales réelles oscillatoires, tandis que la méthode du point selle utilise la continuation analytique et la déformation de contour.

Synthèse

L'approximation de phase stationnaire extrait les contributions asymptotiques dominantes des intégrales oscillatoires en développant autour des points où la phase est stationnaire, reliant ainsi conditions classiques et amplitudes ondulatoires dominantes.