Ein Operator, üblicherweise S_+ oder J_+ genannt und definiert als J_x + i J_y, der auf einen Eigenzustand |s,m> des Drehimpulses wirkt und die magnetische Quantenzahl m um eins erhöht (wenn zulässig) und einen Zustand proportional zu |s,m+1> mit Amplitude proportional zu ħ√[s(s+1)−m(m+1)] erzeugt.

Prinzip

Er ist ein Leiteroperator der su(2)-Algebra: J_± = J_x ± i J_y und [J_z,J_±] = ±ħ J_±, sodass J_+ den J_z-Eigenwert um eine Einheit anhebt und dabei J^2 erhält.

Demonstration

Bei Spin 1/2 gilt S_+|1/2,−1/2> = ħ |1/2,1/2>. Allgemein: S_+|s,m> = ħ √[s(s+1)−m(m+1)] |s,m+1>, und auf den höchsten Zustand |s,s> wirkt S_+ mit Null.

Fehlanwendung

S_+ auf einen Zustand anzuwenden, der kein J_z-Eigenzustand ist, ohne vorher zu projizieren; S_+ über das maximale m hinaus zu benutzen; oder S_+ mit einem Erzeugungsoperator der Fock-Raum-Second-Quantisierung zu verwechseln, sind Fehlanwendungen.

Konsequenz

Korrekte Anwendung erlaubt den systematischen Aufbau von Multiplet-Zuständen aus einem höchsten oder tiefsten Gewichtszustand, liefert Selektionsregeln Δm=+1 und die benötigten Matrixelemente für Spektroskopie und Störungstheorie.

Umkehrung

Die Umkehr ist der Spin-Absenkungsoperator S_− (J_− = J_x − i J_y), der m um eins erniedrigt; die Umkehr von S_+ auf einen nicht-extremen Zustand gibt den ursprünglichen Zustand bis auf Normierung zurück.

Abgrenzung

Definiert in jeder endlichdimensionalen Darstellung von su(2) (ganzzahlig oder halb-ganzzahlig s) auf dem entsprechenden Hilbertraum; er ändert nicht die Gesamtdrehimpulsgröße s und ist nicht identisch mit feldtheoretischen Erzeugungsoperatoren oder notwendigerweise mit ortsabhängigen Differentialoperatoren des Bahndrehimpulses ohne explizite Zuordnung der Repräsentationen.

Semantische Spannung

Spannungsfeld zwischen der abstrakten algebraischen Leiterwirkung (m erhöhen) und der informellen Bezeichnung als „Erzeuger“, die irreführend sein kann, wenn man einzelnen Teilchenspin und Second-Quantization vermischt.

Synthese

Der Spin-Aufwärtsoperator J_+ = J_x + iJ_y ist der su(2)-Leiteroperator, der innerhalb eines festen Gesamtspin-Multiplets die magnetische Quantenzahl um eins erhöht und dabei das bekannte Amplitudenfaktor √[s(s+1)−m(m+1)]ħ liefert.