Opérateur, généralement noté S_+ ou J_+, défini par J_x + i J_y, qui, appliqué à un état propre de moment angulaire |s,m>, augmente la composante magnétique m de une unité (si autorisé) et donne un état proportionnel à |s,m+1> avec amplitude proportionnelle à ħ√[s(s+1)−m(m+1)].

Principe

C'est un opérateur d'échelle (ladder) réalisant l'algèbre su(2) : J_± = J_x ± i J_y et [J_z,J_±] = ±ħ J_±, de sorte que J_+ élève la valeur propre de J_z d'une unité tout en préservant J^2.

Démonstration

Pour un spin 1/2, S_+|1/2,−1/2> = ħ |1/2,1/2>. De manière générale, S_+|s,m> = ħ √[s(s+1)−m(m+1)] |s,m+1>, et son action sur l'état maximal |s,s> donne zéro.

Mauvaise application

Appliquer S_+ à un état qui n'est pas propre de J_z sans projection préalable, l'utiliser au-delà de la valeur maximale de m (en attendant un résultat non nul), ou le confondre avec un opérateur de création en espace de Fock sont des erreurs fréquentes.

Conséquence

Une utilisation correcte permet de construire systématiquement les états d'un multiplet à partir d'un état de poids le plus bas ou le plus haut, fournit des règles de sélection Δm=+1 et donne les éléments de matrice nécessaires en spectroscopie et en perturbation.

Inversion

La notion inverse est l'opérateur d'abaissement S_− (J_− = J_x − i J_y), qui diminue m d'une unité ; l'inversion de l'action de S_+ sur un état non extrémal permet de retrouver l'état initial à un facteur de normalisation près.

Limite

Défini pour toute représentation de dimension finie de su(2) (s entier ou demi-entier) agissant sur l'espace de Hilbert correspondant ; il ne change pas la valeur totale s et ne se confond pas avec les opérateurs de création de champ ni forcément avec les opérateurs différentiels d'impulsion orbitale sans identification explicite des représentations.

Tension sémantique

Tension entre l'action algébrique abstraite (élévation de m) et le langage informel qui qualifie ces opérateurs de «créateurs», ce qui peut induire en erreur si l'on mélange spin d'une particule et opérateurs de seconde quantification.

Synthèse

L'opérateur d'élévation de spin est J_+ = J_x + iJ_y : c'est l'opérateur d'échelle de su(2) qui augmente la valeur du nombre quantique magnétique d'une unité au sein d'un multiplet de spin donné, avec le facteur d'amplitude √[s(s+1)−m(m+1)]ħ.