Ein linearer, unitärer Operator auf dem Hilbertraum, der räumliche Rotationen implementiert; mathematisch ist er eine Darstellung der Rotationsgruppe (SO(3)) oder ihrer Doppeldeckung (SU(2)) auf Zustandsvektoren und Operatoren.

Prinzip

Rotationen sind Symmetrieoperationen, die von Drehimpulsgrößen erzeugt werden; endliche Rotationen entstehen durch Exponieren hermitescher Erzeuger (Drehimpulskomponenten) multipliziert mit Rotationsparametern und geteilt durch ħ.

Demonstration

Für ein Spin-1/2-Teilchen wird eine Rotation um Winkel θ um Achse n durch R(n,θ)=exp(-i θ n·σ/2) realisiert, wobei σ die Pauli-Matrizen sind; Anwendung von R auf einen Spin-up-Zustand liefert den gedrehten Spinor und transformiert Spin-Erwartungswerte entsprechend einer klassischen Rotation des Bloch-Vektors.

Fehlanwendung

Der Rotationoperator darf nicht mit der klassischen 3×3-orthogonalen Rotationsmatrix verwechselt werden und direkt auf Spinoren angewendet werden; ohne die SU(2)-Darstellung treten Vorzeichen- oder Phasenfehler (Doppeldeckung) für halbzahlige Spins auf.

Konsequenz

Bei Rotationsinvarianz ist der Drehimpuls erhalten, Matrixelemente gehorchen Selektionsregeln (z. B. Wigner–Eckart) und Zustände lassen sich nach Gesamtwinkelmoment und dessen Projektionen klassifizieren.

Umkehrung

Anstelle einer aktiven Rotation des Zustands kann man das Koordinatensystem passiv rotieren; mathematisch wirkt die inverse (adjungierte) Rotation auf Operatoren und liefert eine äquivalente Darstellung.

Abgrenzung

Gilt für räumliche Rotationen der entsprechenden Gruppe; umfasst keine Lorentz-Boosts, inneren Symmetrien oder beliebige Koordinatenumparametrisierungen; die Wahl der Darstellung (SO(3) vs. SU(2)) richtet sich nach dem Spin des Systems.

Semantische Spannung

Unterscheide den Rotationoperator (unitärer Operator im Hilbertraum) von der klassischen Rotationsmatrix im Konfigurationsraum; beide beschreiben dieselbe physikalische Symmetrie, unterscheiden sich jedoch in Darstellungsraum und können bei Spinoren Phasenunterschiede aufweisen.

Synthese

Der Rotationsoperator ist die unitäre Darstellung räumlicher Rotationen auf Quantenzuständen: durch Drehimpulskomponenten erzeugt und exponentiert für endliche Rotationen, erzeugt er Selektionsregeln und Erhaltungssätze und erfordert die passende Gruppenrepräsentation (SO(3)/SU(2)).