Opérateur linéaire et unitaire sur l'espace de Hilbert quantique qui réalise des rotations spatiales ; c'est la représentation du groupe de rotations (SO(3)) ou de son recouvrement double (SU(2)) agissant sur vecteurs d'état et observables.

Principe

Les rotations sont des transformations de symétrie générées par le moment angulaire ; les rotations finies s'obtiennent en exponentiant les générateurs hermitiens (composantes du moment angulaire) multipliés par les paramètres de rotation et divisés par ħ.

Démonstration

Pour une particule de spin 1/2, une rotation d'angle θ autour d'un axe unité n est donnée par R(n,θ)=exp(-i θ n·σ/2), où σ sont les matrices de Pauli ; appliquer R à un spin up donne le spineur tourné et transforme les valeurs moyennes du spin comme la rotation classique du vecteur de Bloch.

Mauvaise application

Considérer l'opérateur de rotation comme la même matrice orthogonale 3×3 utilisée pour les vecteurs classiques et l'appliquer directement aux spineurs sans la représentation SU(2) conduit à des signes ou phases erronés (effet de recouvrement double) et à des prédictions incorrectes pour les spins demi-entiers.

Conséquence

Si la symétrie rotationnelle est présente, le moment angulaire est conservé, les éléments de matrice obéissent à des règles de sélection (par exemple relations de Wigner–Eckart) et les états se classent par moment angulaire total et ses projections.

Inversion

Au lieu de faire une rotation active de l'état, on peut effectuer une rotation passive du système de coordonnées ; mathématiquement, la rotation inverse (adjointe) agit sur les observables plutôt que sur les états, donnant une description équivalente.

Limite

S'applique aux rotations spatiales du groupe concerné ; n'inclut pas les boosts relativistes, les transformations internes, ni les reparamétrages arbitraires de coordonnées ; il faut choisir la représentation (SO(3) vs SU(2)) selon le spin de la particule.

Tension sémantique

Distinguer l'opérateur de rotation (opérateur unitaire sur l'espace de Hilbert) de la matrice de rotation classique agissant sur les vecteurs de l'espace de configuration ; les deux expriment la même symétrie physique mais vivent dans des espaces de représentation différents et peuvent différer par un signe ou une phase pour les spineurs.

Synthèse

L'opérateur de rotation est la représentation unitaire des rotations spatiales sur les états quantiques : engendré par les composantes du moment angulaire et exponentié pour obtenir des rotations finies, il impose règles de sélection et lois de conservation tout en exigeant la représentation de groupe adéquate (SO(3)/SU(2)).