Eine Lösung ψ der Eigenwertgleichung Aψ=λψ, die nicht als normalisierbarer Vektor zum Hilbertraum gehört, aber die Gleichung im distributionellen oder rigged-Hilbert-space-Sinn erfüllt; generalisierte Eigenfunktionen beschreiben Zustände des kontinuierlichen Spektrums wie ebene Wellen oder Streuzustände.

Prinzip

Nach dem Spektralsatz und der Rigged-Hilbert-Space-Formulierung: selbstadjungierte Operatoren besitzen Spektraldekompositionen, die kontinuierliche Anteile enthalten, dargestellt durch generalisierte Eigenfunktionen, die in δ-Sinn normiert sind und dazu dienen, physikalische (normalisierbare) Zustände als Integrale über das Spektrum zu entwickeln.

Demonstration

Freiteilchen-Impuls-Eigenfunktionen ψk(x)=e^{ikx}/√(2π) sind generalisierte Eigenfunktionen des Impulsoperators mit Eigenwert k; Streulösungen der Schrödinger-Gleichung bei positiver Energie sind generalisierte Eigenfunktionen des Hamiltonoperators und werden zur Berechnung von S-Matrix-Elementen verwendet.

Fehlanwendung

Generalisierte Eigenfunktionen als L2-normalisierbare Basisvektoren zu behandeln, ihre punktweisen Werte zur Wahrscheinlichkeitszuweisung zu verwenden ohne Wellenpakete zu bilden, oder Randbedingungen und Selbstadjungiertheit zu ignorieren, die bestimmen, ob solche generalisierten Lösungen physikalisch zulässig sind.

Konsequenz

Sie ermöglichen spektrale Zerlegungen physikalischer Zustände als Integrale (kontinuierliche Superpositionen), die praktische Berechnung von Streuamplituden und Übergangswahrscheinlichkeiten sowie die operative Brücke zwischen formalen Eigenwertgleichungen und messbaren Observablen des kontinuierlichen Spektrums.

Umkehrung

Diskrete, quadratintegrierbare Eigenfunktionen, die zum Hilbertraum gehören (normalisierbare gebundene Zustände) und im üblichen Sinn orthonormal sind sowie dem reinen Punktespektrum entsprechen.

Abgrenzung

Gilt für selbstadjungierte (oder korrekt fortgesetzte) Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum; generalisierte Eigenfunktionen sind nicht in L2 und erfordern distributionelle Interpretation und Rigged-Hilbert-Space-Maschinerie; sie können für nichtselbstadjungierte Operatoren fehlen oder ohne geeignete Randbedingungen nicht physikalisch sein.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Bezeichnung dieser Objekte als 'Eigenfunktionen' — was Zugehörigkeit zu einem gewöhnlichen Funktionsraum suggeriert — und ihrem tatsächlichen Status als distributionelle Eigenvektoren, die durch Deltas normiert sind; außerdem Spannung zwischen heuristischem Physikergebrauch und mathematischer Strenge bezüglich Domänen und Fortsetzungen von Operatoren.

Synthese

Eine generalisierte Eigenfunktion ist eine distributionelle Lösung einer Eigenwertgleichung, die mit dem kontinuierlichen Spektrum verbunden ist: nicht quadratintegrierbar, δ-normiert, ermöglicht sie integrale Spektralzerlegungen und bildet die Grundlage zur Beschreibung von Streuung und Kontinuum-Observablen, wenn sie mit Wellenpaketen und korrekten Operator-Domänenspezifikationen verwendet wird.