Una solución ψ de la ecuación de valores propios Aψ=λψ que no pertenece al espacio de Hilbert como vector normalizable pero satisface la ecuación en sentido distribuciónal o en el formalismo de espacio de Hilbert rigged; las funciones propias generalizadas describen estados de espectro continuo como ondas planas o estados de dispersión.

Principio

Según el teorema espectral y el formalismo de espacio de Hilbert rigged: operadores autoadjuntos admiten descomposiciones espectrales que incluyen partes continuas representadas por funciones propias generalizadas, normalizadas en sentido de delta, y usadas para expandir estados físicos (normalizables) como integrales sobre el espectro.

Demostración

Las funciones propias del momento de la partícula libre ψk(x)=e^{ikx}/√(2π) son funciones propias generalizadas del operador momento con valor propio k; soluciones de dispersión de la ecuación de Schrödinger a energía positiva son funciones propias generalizadas del Hamiltoniano, usadas para calcular elementos de la matriz S.

Aplicación incorrecta

Tratar las funciones propias generalizadas como vectores base normalizables en L2, usar sus valores puntuales para asignar probabilidades sin formar paquetes de onda, o ignorar condiciones de contorno y autoadjunción que determinan si tales soluciones generalizadas son físicamente admisibles.

Consecuencia

Permiten expansiones espectrales de estados físicos como integrales (superposiciones continuas), el cálculo práctico de amplitudes de dispersión y probabilidades de transición, y sirven de puente operativo entre ecuaciones formales de valores propios y observables medibles del espectro continuo.

Inversión

Funciones propias discretas y cuadrado-integrables que pertenecen al espacio de Hilbert (estados ligados normalizables) y que son ortonormales en el sentido habitual, correspondientes al espectro puntual en lugar del continuo.

Límite

Válidas para operadores autoadjuntos (o adecuadamente extendidos) que exhiben espectro continuo; las funciones propias generalizadas no están en L2 y requieren interpretación distribuciónal y la maquinaria del espacio de Hilbert rigged; pueden no existir para operadores no autoadjuntos o ser no físicas sin condiciones de contorno apropiadas.

Tensión semántica

Tensión entre llamar a estos objetos 'funciones propias' —lo que sugiere pertenencia al espacio de funciones ordinario— y su verdadero estatus como vectores distribuciónales normalizados por deltas; también tensión entre el uso heurístico de los físicos y la rigurosidad matemática sobre dominios y extensiones de operadores.

Síntesis

Una función propia generalizada es una solución distribuciónal de una ecuación de valor propio asociada al espectro continuo: no cuadrado-integrable pero delta-normalizada, permite descomposiciones espectrales integrales y proporciona la base para describir dispersión y observables del continuo cuando se usa con paquetes de onda y especificaciones de dominio operatorio adecuadas.