Eine Technik, die Green-Funktionen (Resolventen) verwendet, um die Streu-Schroedinger-Gleichung in Integralgleichungen (z. B. die Lippmann–Schwinger-Gleichung) umzuwandeln und so gestreute Wellen, T-Matrix-Elemente sowie gebundene/Resonanzzustände zu berechnen.

Prinzip

Die vollständige Wellenfunktion als Summe aus einfallender Welle und Faltung der Green-Funktion mit dem Wechselwirkungspotential und der unbekannten Wellenfunktion darstellen; ausgehende/eingehende Randbedingungen mittels i0‑Vorschrift erzwingen und die resultierende Integralgleichung lösen, häufig perturbativ.

Demonstration

Für ein lokalisiertes Potential V(r) den freien Green'schen Kern G0(E + i0) benutzen, um ψ = φ + G0 V ψ zu schreiben. Iteration führt zur Born-Reihe und zur T‑Matrix T = V + V G0 V + …. Pole des vollständigen Green'schen Operators zeigen gebundene Zustände oder Resonanzen an.

Fehlanwendung

Die i0‑Vorschrift weglassen oder falsche Randbedingungen führen zu unphysikalischen Lösungen; das ungeänderte Anwenden des freien Green'schen Kerns auf langreichweitige Potentiale wie Coulomb ergibt fehlerhafte Asymptotik.

Konsequenz

Ermöglicht die Bestimmung von Streuamplituden und Wirkungsquerschnitten, systematische Störungsreihen und die direkte Verbindung zwischen der analytischen Struktur von Green-Funktionen und physikalisch messbaren Größen wie Resonanzen.

Umkehrung

Das Streuproblem über zeitabhängige Wellenpaketpropagation oder partielle Wellen-Differentialgleichungen lösen; diese Methoden umgehen die Integralgleichungsformulierung und setzen andere numerische/analytische Schwerpunkte.

Abgrenzung

Erfordert sorgfältige Behandlung singulärer Kerne, Regularisierung δ‑artiger Wechselwirkungen und modifizierte langreichweitige Asymptotik bei nichtkompakten Potentialen; zeitabhängige oder Vielteilchen‑Verallgemeinerungen brauchen zusätzliche Struktur.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Green-Funktions‑Integralgleichungsansatz und S‑Matrix bzw. Zeitbereichsformulierung; Verwechslung zwischen freier und voller Green‑Funktion sowie zwischen on‑shell und off‑shell T‑Matrix‑Elementen ist häufig.

Synthese

Die Green‑Funktion‑Methode formt Streuung zu einem Integralgleichungsproblem um, in dem Resolventen und ihre analytischen Eigenschaften Streuamplituden liefern, kontrollierbare Näherungen (Born‑Reihe) ermöglichen und Pole mit gebundenen bzw. resonanten Zuständen verknüpfen.