Der Positionsoperator Z ist der selbstadjungierte Operator, der in der Ortsbasis die z-Koordinate einer Teilchenlage liefert. In Ortsdarstellung wirkt er durch Multiplikation: (Zψ)(x,y,z) = z·ψ(x,y,z). Sein Spektrum ist R; die Eigenzustände sind verallgemeinerte Zustände (Dirac-Distributionen) lokalisiert bei festem z.

Prinzip

Er repräsentiert die messbare z-Komponente der Position als hermitesche Observable; seine Wirkung ist in der Ortsdarstellung multiplikativ und liefert den Koordinatenwert, der in Positionsmessungen erscheint.

Demonstration

Für ein Teilchen in drei Dimensionen mit Wellenfunktion ψ(x,y,z) ist der Erwartungswert ⟨Z⟩ = ∫ d^3r ψ*(r) z ψ(r). Eine ideale Messung z0 entspricht formal der Projektion auf die Distribution δ(z − z0) (integriert über x,y).

Fehlanwendung

Z als differentialoperator wie den Impuls zu behandeln, normalisierbare Eigenzustände zu erwarten oder die Definitionsmenge und distributionelle Natur seiner Eigenzustände zu ignorieren; Einsatz ohne Angabe der Randbedingungen in begrenzten oder diskreten Systemen.

Konsequenz

Bei korrekter Behandlung liefert Z die Wahrscheinlichkeitsdichten für z-Messungen und reelle Erwartungswerte; da er mit X und Y kommutiert, entsprechen gleichzeitige scharfe Werte verallgemeinerten Zuständen, die in allen drei Koordinaten lokalisiert sind.

Umkehrung

Im Gegensatz dazu ist der Impulsoperator Pz ein Differentialoperator (−iħ ∂/∂z), der Translationen in z erzeugt; Z multipliziert die Wellenfunktion mit der Koordinate und erzeugt in Impulsdarstellung Phasenverschiebungen.

Abgrenzung

Z ist auf dem Hilbertraum L^2(R^3) unbeschränkt und besitzt ein kontinuierliches Spektrum gleich R; seine Eigenvektoren gehören nicht zum Hilbertraum, sondern zur rigged Hilbert space; in Gitter- oder periodischen Systemen wird das Spektrum diskret oder quasi-diskret und die einfache Multiplikationsform ist anzupassen.

Semantische Spannung

Unterscheidet den Operator, der auf Quantenzustände wirkt, von der klassischen Koordinatenbezeichnung z: Dasselbe Symbol z erscheint sowohl als Operator als auch als klassischer Parameter, was bei Vernachlässigung von Definitionsbereichen und Spektren zu Verwechslungen führen kann.

Synthese

Der Positionsoperator Z ist der hermitesche Multiplikationsoperator durch die Koordinate z in der Ortsdarstellung; er formalisert die Messung der z-Lage, erfordert jedoch rigged-Hilbert-space-Sprache und Beachtung von Definitionsbereichen, Spektren und Randbedingungen.