L'Opérateur de Position Z est l'opérateur auto-adjoint qui renvoie la coordonnée z de la position d'une particule dans la base des positions. En représentation spatiale, il agit par multiplication : (Zψ)(x,y,z) = z·ψ(x,y,z), et son spectre couvre la droite réelle avec des vecteurs propres généralisés localisés en z (distributions δ de Dirac).

Principe

Il représente l'observable hermitienne du composant z de la position ; son action est multiplicative en représentation de position et il fournit la valeur propre de coordonnée mesurée lors d'une mesure de position en z.

Démonstration

Pour une particule en trois dimensions de fonction d'onde ψ(x,y,z), la valeur moyenne est ⟨Z⟩ = ∫ d^3r ψ*(r) z ψ(r). Une mesure idéale donnant z0 correspond formellement à une projection sur la distribution δ(z − z0) (intégrée sur x,y).

Mauvaise application

Considérer Z comme un opérateur différentiel de type impulsion, s'attendre à des vecteurs propres normalisables, ou ignorer la nature distributionnelle de ses états propres ; l'utiliser sans préciser les conditions aux limites dans des systèmes confinés ou discrets.

Conséquence

Traité correctement, Z fournit les densités de probabilité pour les mesures en z et des valeurs moyennes réelles ; comme il commute avec X et Y, des valeurs nettes simultanées correspondent à des états propres distributionnels localisés sur les trois coordonnées.

Inversion

À opposer à l'opérateur d'impulsion Pz, qui est un opérateur dérivé (−iħ ∂/∂z) et engendre les translations en z ; Z multiplie la fonction d'onde par la coordonnée et engendre des déphasages en représentation impulsionnelle.

Limite

Z est non borné sur l'espace de Hilbert L^2(R^3) et possède un spectre continu égal à R ; ses vecteurs propres ne font pas partie de l'espace de Hilbert mais du triplet d'espaces (rigged Hilbert space) ; sur un réseau ou avec conditions périodiques le spectre devient discret et la forme multiplicative doit être adaptée.

Tension sémantique

Sépare l'opérateur agissant sur les états quantiques de l'étiquette de coordonnée classique z : le même symbole z sert d'opérateur multiplicatif et de paramètre classique, ce qui peut conduire à confondre opérateur et coordonnée si l'on néglige les domaines et le spectre.

Synthèse

L'Opérateur de Position Z est l'opérateur hermitien de multiplication par la coordonnée z en représentation de position ; il formalise la mesure de la localisation en z tout en requérant un langage de rigged Hilbert et une attention aux domaines, spectres et conditions aux limites.