Die Ortsdarstellung ist die Darstellung quantenmechanischer Zustände und Operatoren in der Basis der Orts-Eigenvektoren, wobei ein Zustand |ψ⟩ durch seine Wellenfunktion ψ(r) = ⟨r|ψ⟩ beschrieben wird. In dieser Darstellung wirken Ortsoperatoren multiplikativ, Impulsoperatoren wirken als Differentialoperatoren (bis auf Eichfragen), und |ψ(r)|^2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen bei r zu finden.

Prinzip

Verwendet das (verallgemeinerte) vollständige System der Orts-Eigenvektoren, um abstrakte Hilbertraumvektoren in Koordinatenraum-Amplituden zu überführen; stellt eine direkte Verbindung zwischen dem mathematischen Zustand und den räumlichen Messstatistiken durch die Born-Regel her.

Demonstration

Die zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung lautet iħ ∂ψ/∂t = [−(ħ^2/2m) ∇^2 + V(r)] ψ(r,t) für ein lokales Potential V(r), was zeigt, wie kinetische Terme zu Differentialoperatoren und Potentiale zu multiplikativen Funktionen werden.

Fehlanwendung

Dirac-Delta-Eigenvektoren als normalisierbare Zustände zu behandeln, die rigged Hilbert space für verallgemeinerte Eigenvektoren zu ignorieren, oder anzunehmen, dass alle Operatoren in Ortsraum einfache lokale Differentialformen haben (Gegenbeispiele: Spin, Topologie, nichtlokale Wechselwirkungen).

Konsequenz

Bietet eine anschauliche räumliche Beschreibung quantenmechanischer Phänomene, ermöglicht das direkte Modellieren lokaler Potentiale und Randbedingungen und erleichtert numerische Verfahren (Finite-Differenzen, Finite-Elemente), die Differentialoperatoren im r-Raum approximieren.

Umkehrung

Im Gegensatz zur Impuls- (oder anderen) Darstellung: in Impulsdarstellung sind Wellenfunktionen Funktionen von p und Impulsoperatoren multiplizieren, während Ortsoperatoren differentiell werden; die Wahl der Darstellung verlagert die Einfachheit der Operatoren.

Abgrenzung

Benötigt für strenge Aussagen den Formalismus der rigged Hilbert space, da Orts-Eigenvektoren Distributionen sind; die Darstellung hängt von Koordinatenwahl, Maß und Randbedingungen ab und ist nicht immer günstig bei nichtlokalen Hamiltonoperatoren oder diskreten räumlichen Strukturen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Darstellung des Quantenzustands als räumliche Amplitude und dem koordinatenabhängigen, teils eichabhängigen Charakter dieser Amplitude; auch Spannung zwischen operativer Messbarkeit der Position und den in der Darstellung angenommenen idealisierten Projektionsmessungen.

Synthese

Die Ortsdarstellung überführt abstrakte Quantenzustände in Koordinatenraum-Wellenfunktionen ψ(r), die Positionsmessstatistiken durch |ψ|^2 liefern, realisiert Position als multiplikativen Operator und Impuls als Differentialoperator (mit Vorbehalten) und verlangt rigged-Hilbert-space-Sprache sowie Aufmerksamkeit für Randbedingungen, Eichfragen und nichtlokale Effekte.