La Représentation de Position est la représentation des états et opérateurs quantiques dans la base des vecteurs propres de position, où un état |ψ⟩ est décrit par sa fonction d'onde ψ(r) = ⟨r|ψ⟩. En cette représentation les opérateurs de position agissent par multiplication tandis que les opérateurs de moment agissent comme opérateurs différentiels (à la jauge près), et |ψ(r)|^2 est la densité de probabilité de trouver la particule en r.

Principe

Utilise l'ensemble complet (généralisé) de vecteurs propres de position pour mapper les vecteurs abstraits de l'espace de Hilbert en amplitudes en espace de coordonnées ; relie directement l'état mathématique aux statistiques de mesure spatiale via la règle de Born.

Démonstration

L'équation de Schrödinger dépendante du temps en représentation de position s'écrit iħ ∂ψ/∂t = [−(ħ^2/2m) ∇^2 + V(r)] ψ(r,t) pour un potentiel local standard V(r), montrant comment le terme cinétique devient différentiel et le potentiel une fonction multiplicative.

Mauvaise application

Prendre les vecteurs propres δ de Dirac pour des états normalisables, ignorer le triplet d'espaces (rigged Hilbert space) nécessaire aux états propres généralisés, ou supposer que tous les opérateurs ont des formes différentielles locales simples en espace des positions (exemples contraires : spin, topologie, interactions non locales).

Conséquence

Fournit une description spatiale intuitive des phénomènes quantiques, permet de modéliser directement des potentiels locaux et des conditions aux limites, et facilite les méthodes numériques (différences finies, éléments finis) qui approchent les opérateurs différentiels en espace r.

Inversion

À opposer à la représentation impulsionnelle (ou autres) : en représentation impulsionnelle les fonctions d'onde sont des fonctions de p et les opérateurs de moment deviennent multiplicatifs tandis que les positions deviennent différentiels ; le choix de représentation déplace la simplicité des opérateurs.

Limite

Exige le formalisme du rigged Hilbert space pour des énoncés rigoureux car les vecteurs propres de position sont des distributions ; la représentation dépend du choix de coordonnées, de mesure et des conditions aux limites et peut ne pas être la plus commode pour des Hamiltoniens non locaux ou des structures spatiales discrètes.

Tension sémantique

Tension entre la représentation de l'état quantique comme amplitude spatiale et le caractère dépendant des coordonnées, parfois dépendant de la jauge, de cette amplitude ; tension aussi entre la mesurabilité opérationnelle de la position et les mesures projectives idéalisées supposées dans la représentation.

Synthèse

La Représentation de Position mappe les états quantiques abstraits sur des fonctions d'onde en espace de coordonnées ψ(r) donnant les statistiques de mesure de position par |ψ|^2, réalise la position par des opérateurs multiplicatifs et le moment par des opérateurs différentiels (avec réserves), et requiert le langage du rigged Hilbert space ainsi qu'une attention aux conditions aux limites, jauge et effets non locaux.