La regla de Born es la prescripción de la mecánica cuántica que asigna una probabilidad a un resultado de medida: la probabilidad de obtener un resultado asociado al proyector P cuando el sistema está en el estado |ψ⟩ es Tr(P |ψ⟩⟨ψ|) = ⟨ψ|P|ψ⟩; para un resultado puro representado por un vector normalizado |φ⟩ esto se reduce a |⟨φ|ψ⟩|^2.

Principio

Las probabilidades cuánticas se obtienen a partir del cuadrado de las amplitudes (o de los valores esperados de proyectores); las amplitudes son complejas y las predicciones físicas son números reales no negativos derivados de ellas.

Demostración

Para una partícula de espín 1/2 preparada en |ψ⟩ = α|↑⟩ + β|↓⟩ con |α|^2+|β|^2=1, la regla de Born predice la probabilidad |α|^2 de medir espín arriba según el eje elegido. Para un observable continuo como la posición, la regla produce una densidad de probabilidad |ψ(x)|^2 respecto de la medida de Lebesgue.

Aplicación incorrecta

Aplicar la regla de Born a un vector no normalizado sin corregir la normalización, o interpretar el módulo al cuadrado para un espectro continuo sin la medida adecuada, produce probabilidades incorrectas; asimismo, tratar operadores mal definidos como eventos de medida es una mala aplicación.

Consecuencia

La regla de Born vincula el estado abstracto o la matriz densidad con las estadísticas experimentales, haciendo que los estados cuánticos tengan significado empírico y permitiendo derivar esperanzas, varianzas y frecuencias observadas.

Inversión

Invertir la regla — intentar recuperar un vector de estado único a partir de una sola probabilidad — falla porque las probabilidades eliminan fases relativas y, para estados mixtos, no permiten determinar un estado puro de forma única.

Límite

La regla de Born se aplica a mediciones proyectivas y se generaliza a medidas de operador positivo (POVM) mediante Tr(E_i ρ); no prescribe la dinámica ni la preparación de estados, y su forma directa presupone la medida apropiada para espectros continuos.

Tensión semántica

Existe tensión entre considerar la regla de Born como un postulado fundamental y buscar derivarla de principios más profundos (por ejemplo argumentos de teoría de la decisión o simetría); también hay tensión entre la prescripción operativa de probabilidad y las interpretaciones ontológicas de la amplitud.

Síntesis

La regla de Born es el puente operativo entre el formalismo cuántico (estados y operadores) y las frecuencias observadas: calcule productos escalares o trazas, tome el módulo al cuadrado o el valor esperado, e interprete el resultado como probabilidad medible respetando la normalización y la medida adecuada para variables continuas.