La règle de Born est la prescription de la mécanique quantique qui associe une probabilité à un résultat de mesure : la probabilité d'obtenir l'issue associée au projecteur P pour un système en état |ψ⟩ est Tr(P |ψ⟩⟨ψ|) = ⟨ψ|P|ψ⟩ ; pour un résultat pur représenté par un vecteur normalisé |φ⟩, elle se réduit à |⟨φ|ψ⟩|^2.

Principe

Les probabilités quantiques se calculent à partir du carré des amplitudes (ou des valeurs d'attente de projecteurs) ; les amplitudes sont complexes et les prédictions physiques sont des nombres réels non négatifs dérivés d'elles.

Démonstration

Pour une particule de spin 1/2 préparée dans l'état |ψ⟩ = α|↑⟩ + β|↓⟩ avec |α|^2+|β|^2=1, la règle de Born prédit la probabilité |α|^2 de mesurer spin-up selon l'axe choisi. Pour une observable continue comme la position, la règle donne une densité de probabilité |ψ(x)|^2 par rapport à la mesure de Lebesgue.

Mauvaise application

Appliquer la règle de Born à un vecteur non normalisé sans corriger la normalisation, ou interpréter le module carré pour un spectre continu sans la mesure appropriée, conduit à des probabilités erronées ; utiliser des opérateurs non projetifs ou mal définis comme événements de mesure constitue aussi une mauvaise application.

Conséquence

La règle de Born relie l'état abstrait ou l'opérateur densité aux statistiques expérimentales, rendant les états quantiques empiriquement significatifs et permettant de déduire espérances, variances et fréquences observées.

Inversion

Inverser la règle — tenter de retrouver un vecteur d'état unique à partir d'une probabilité isolée — échoue car les probabilités effacent les phases relatives et, pour des états mixtes, ne peuvent pas déterminer un état pur de manière univoque.

Limite

La règle de Born s'applique aux mesures projectives et se généralise aux mesures à opérateurs positifs (POVM) via Tr(E_i ρ) ; elle ne prescrit pas la dynamique ni la préparation des états, et sa forme directe suppose une mesure adéquate pour les spectres continus.

Tension sémantique

Il existe une tension entre considérer la règle de Born comme un postulat fondamental et chercher à la déduire de principes plus profonds (par exemple arguments décisionnels ou de symétrie) ; tension aussi entre la prescription opérationnelle de probabilité et les interprétations ontologiques des amplitudes.

Synthèse

La règle de Born fait le lien opérationnel entre le formalisme quantique (vecteurs d'état et opérateurs) et les fréquences observées : calculer produits scalaires ou traces, prendre le module carré ou la valeur d'attente, et interpréter le résultat comme probabilité mesurable, en respectant normalisation et mesure adéquate pour les variables continues.